Составители:
Рубрика:
59
Положение плоскости
Q полностью определяется единичным
вектором
e
r
, имеющим направление перпендикуляра опущенного на
плоскость из начала координат, и длиной
p
этого перпендикуляра.
Пусть
,,
α
βγ
— углы, образованные e
r
с осями координат. Тогда
(
)
cos ,cos ,cose
α
βγ
=
r
. Возьмем на плоскости произвольную точку
(
)
,,
M
xyz и ее радиус-вектор
(
)
,,rOM xyz==
u
uuur
r
. Тогда
пр
e
rp=
r
r
, т.е.
re p⋅=
rr
нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Зная
координаты векторов можно записать cos cos cos
x
yzp
α
βγ
+
+=.
Это уравнение называется
нормальным уравнением плоскости в
координатной форме.
Отметим, что общее уравнение плоскости можно привести к
нормальному уравнению умножив обе части уравнения на нормирующий
множитель
222
1
A
BC
λ
=
±++
, где знак берется противоположным знаку
свободного члена
D
общего уравнения плоскости.
ПЛОСКОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
Пусть заданы две плоскости
1
Q
и
2
Q
:
11 1 1
0Ax By Cz D+++=,
22 2 2
0Ax By Cz D+++=
.
Угол
ϕ
между плоскостями это угол между нормалями
(
)
1111
,,nABC=
r
и
(
)
2222
,,nABC=
r
. Поэтому
12
12
cos
nn
nn
ϕ
⋅
=
⋅
rr
rr
или
12 12 12
222 222
111 222
cos
AA BB CC
A
BC ABC
ϕ
+
+
=
++⋅ ++
.
Если плоскости
перпендикулярны, то перпендикулярны и их
нормали, т.е.
12 12 12
0AA BB CC++=
— условие перпендикулярности двух
плоскостей.
Если плоскости параллельны, то параллельны и их нормали, т.е.
111
222
A
BC
A
BC
== — условие параллельности двух плоскостей.
Пусть задана точка
(
)
0000
,,
M
xyz и плоскость Q своим уравнением
0
A
xByCzD+++=. Расстояние d от точки до плоскости находится по
формуле
000
222
A
xByCzD
d
ABC
+++
=
++
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
