Составители:
Рубрика:
7
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ
Замечание: если свойство справедливо и для строк и для столбцов
будем в формулировках называть их рядами.
Элементарными преобразованиями матриц
являются:
• перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
• умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от
нуля;
• прибавление ко всем элементам ряда соответствующих элементов
параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Две матрицы
A
и
B
называются эквивалентными, если одна из них
получается из другой с помощью элементарных преобразований.
Записывается
~
A
B .
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда
число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы
(
)
mn ij
A
a
×
= на матрицу
(
)
np jk
B
b
×
=
называется матрица
(
)
mp ik
Cc
×
=
такая, что
11 2 2ik i k i k in nk
cabab ab
=
⋅+⋅++⋅K ,
где 1, , , 1, , , 1, ,
imjnk p===KKK.
Пример. Найдем произведение матриц
20
12
35
A
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
и
23
41
B
−
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
.
Решение: для заданных матриц определено только произведение
A
B⋅
20 46
23
12 61
41
3 5 26 14
AB
−
⎛⎞ ⎛ ⎞
−
⎛⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟
⋅=− −⋅ = − −
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
−
⎝⎠
⎜⎟ ⎜ ⎟
−−
⎝⎠ ⎝ ⎠
.
Если матрицы
A
и
B
квадратные одного размера, то произведения
A
B⋅ и
B
A⋅ всегда существуют. Легко показать, что
A
EEAA
⋅
=⋅=, где
A
– квадратная матрица,
E
– единичная матрица того же размера.
Матрицы
A
и
B
называются перестановочными, если
A
BBA⋅=⋅.
Пример. Матрицы
12
34
A
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
и
02
33
B
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
перестановочны:
12 02 6 8
34 33 1218
AB
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
⋅= ⋅ =
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
и
02 12 6 8
33 34 1218
BA
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
⋅= ⋅ =
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
.
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1.
(
)
(
)
A
BC AB C= ;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
