Составители:
Рубрика:
34
виду
22
1
26
XY
+=
. Это уравнение эллипса с полуосями 2a = и 6b = , но
т.к.
ab>
, то фокусы этого эллипса лежат на оси ординат и имеют коорди-
наты
1,2
(0; 6)F ± .
2.
Рассмотрим квадратичную форму
22
222
x
xy y++
. Запишем ее
матрицу
21
12
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
Определим собственные числа матрицы (см. Задание 5.1) из характе-
ристического уравнения
21
0
12
λ
λ
−
=
−
или
(
)
2
210
λ
−
−=
. Решая урав-
нение, получим собственные числа
1
3
λ
=
и
2
1
λ
=
.
Найдем соответствующие единичные собственные векторы (см. За-
дание 5.2). Для этого решим системы уравнений:
Если
1
3
λ
=
, то
0
0
xy
xy
−+ =
⎧
⎨
−=
⎩
,
x
c
yc
=
⎧
⎨
=
⎩
. Получим собственный вектор
1
c
e
c
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
r
. Модуль этого вектора
22
1
2eccc=+=
r
. Нормируя, получаем
первый единичный собственный вектор
1
2
1
1
1
1
2
o
e
e
e
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
r
r
r
.
Если
2
1
λ
=
, то
0
0
xy
xy
+=
⎧
⎨
+=
⎩
,
x
c
yc
=
−
⎧
⎨
=
⎩
. Получим собственный вектор
2
c
e
c
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
r
. Модуль этого вектора
22
2
2eccc=+=
r
. Нормируя, получаем
второй единичный собственный вектор
1
2
2
2
1
2
2
o
e
e
e
−
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
r
r
r
.
Перейдем к базису векторов
1
o
e
r
и
2
o
e
r
. Составим матрицу перехода
11
22
11
22
T
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
. Тогда преобразования координат задаются системой
11
22
11
22
x
x
yy
−
⎛⎞
′
⎛⎞ ⎛ ⎞
=⋅
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
′
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠
или
11
22
11
22
x
xy
yx y
′
′
=−
⎧
⎪
⎨
′
′
=+
⎪
⎩
. Это преобразование задает в
плоскости
x
Oy
поворот координатных осей на угол
4
π
α
=
.
В базисе
1
o
e
r
и
2
o
e
r
квадратичная форма
22
222
x
xy y++
будет иметь
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
