Составители:
Рубрика:
99
ξ
n
n
=
SS
n
nn
−
−1
=
S
n
n
−
n
n
−
1
S
n
n−
−
1
1
П. Н.
⎯→⎯⎯
0 при n→∞,
то есть событие {
ξ
n
n
≥1} наступает лишь для конечного числа индексов с
вероятностью 1. Рассуждая от противного, по лемме Бореля-Кантелли от-
сюда следует, что
P
n
n
n
{}
ξ
≥
=
∞
∑
1
1
= Pn
n
n
{}ξ≥
=
∞
∑
1
<∞,
но
Pn
n
n
{}ξ≥
=
∞
∑
1
= P
n
n
{}ll
l
≤<+
=
∞
=
∞
∑∑
ξ 1
1
=
=
P
n
{}ll
l
l
≤<+
=
∞
=
∑∑
ξ 1
1
1
1= ll l
l
P{ ≤<+
=
∞
∑
ξ 1
1
}<∞.
Однако, с другой стороны,
M{
⏐ξ⏐}= xdF x()
−∞
∞
∫
= xdF x
x
()
ll
l
≤<+
=
∞
∫
∑
1
0
≤ () ()l
ll
+
≤<+
=
∞
∫
∑
1
1
0
dF x
x
l
=
=
ll l
l
P{ ≤<+
=
∞
∑
ξ 1
1
}+1<∞,
что и доказывает необходимость.
Следствием рассмотренных теорем является следующая теорема.
Теорема Бореля. Пусть вероятность события А равна p. Если произво-
дится n независимых опытов, то при n
→∞
m
n
П. Н.
⎯→⎯⎯ p,
где m - число наступления события А в n опытах.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину ξ
i
:
ξ
i
=1, если в i-ом опыте наступило событие А;
ξ
i
=0, если в i-ом опыте не наступило событие А.
Тогда случайные величины
ξ
i
независимы и одинаково распределены
M{
ξ
i
}=1⋅p+0⋅(1-p)=p
и
ξ
i
i
n
=
∑
1
=m.
По теореме Колмогорова 2 при n
→∞
1
n
(m−np)=
m
n
−p
П. Н.
⎯→⎯⎯
0,
ξ n S n − S n −1 S n n − 1 S n −1 П. Н.
= = − ⎯ ⎯⎯→ 0 при n→∞,
n n n n n −1
ξn
то есть событие { ≥1} наступает лишь для конечного числа индексов с
n
вероятностью 1. Рассуждая от противного, по лемме Бореля-Кантелли от-
сюда следует, что
∞ ξn ∞
∑ P{ n
≥ 1} = ∑ P{ ξ n ≥ n } <∞,
n =1 n =1
но
∞ ∞ ∞
∑ P{ ξ n ≥ n }= ∑ ∑ P{l ≤ ξ < l + 1} =
n =1 n =1 l= n
∞ l ∞
= ∑ P{l ≤ ξ < l + 1}∑1 = ∑ lP {l ≤ ξ < l + 1} <∞.
l=1 n =1 l=1
Однако, с другой стороны,
∞ ∞ ∞
M{⏐ξ⏐}= ∫ x dF (x) = ∑ ∫ x dF (x) ≤ ∑ ( l + 1) ∫ dF ( x) =
−∞ l=0 l≤ x < l+1 l =0 l≤ x < l+1
∞
= ∑ lP {l ≤ ξ < l + 1} +1<∞,
l=1
что и доказывает необходимость.
Следствием рассмотренных теорем является следующая теорема.
Теорема Бореля. Пусть вероятность события А равна p. Если произво-
дится n независимых опытов, то при n→∞
m П. Н.
⎯ ⎯⎯→ p,
n
где m - число наступления события А в n опытах.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину ξi:
ξi=1, если в i-ом опыте наступило событие А;
ξi=0, если в i-ом опыте не наступило событие А.
Тогда случайные величины ξi независимы и одинаково распределены
M{ξi}=1⋅p+0⋅(1-p)=p
и
n
∑ ξ i =m.
i =1
По теореме Колмогорова 2 при n→∞
1 m
(m−np)= −p ⎯П. Н.
⎯⎯→ 0,
n n
99
