Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

98
l
1
2
k
k=
∞
∑
l
≤ l
1
1k(k
k
−
=
∞
∑
)
l
=
l
l −
1
≤ 2 для l ≥ 2;
и
1
2
k
kl=
∞
∑
=
π
2
6
<2.
Поэтому
D
k
k
k
n
{}η
2
1
=
∑
≤ 2
xdF x
x
()
ll
l
−≤ <
=
∞
∫
∑
1
1
=2 хdF x()
0
∞
∫
.
Значит, согласно теореме Колмогорова 1 при n
→∞
1
n
({})
ηη
kk
k
n
M−
=
∑
1
П. Н.
⎯→⎯⎯ 0.
3. Поскольку
M{
η
k
}= xdF x
k
k
()
−
∫
k→∞
⎯
→
⎯
⎯
xdF x()
−∞
∞
∫
=M{ξ
k
}=а,
то, как известно из математического анализа,
1
n
M
k
n
k
n
{}η
→∞
=
⎯→⎯⎯
∑
a
1
. Так как
с вероятностью 1
η
k
отличается от ξ
k
лишь для конечного числа индексов
k, то событие
{
ω:
1
n
()
ξη
kk
k
n
n
−⎯→⎯⎯
=
→∞
∑
1
0 } (3.4.1)
имеет вероятность 1. Очевидно, имеет место неравенство
1
n
ξ
k
k
n
−
=
∑
a
1
≤
1
n
()
ξη
kk
k
n
−
=
∑
1
+
1
n
({})
ηη
kk
k
n
M−
=
∑
1
+
1
n
M
k
k
n
{}η−
=
∑
a
1
. (3.4.2)
Поскольку событие
{
ω:
1
n
({})
ηη
kk
k
n
n
M−⎯→⎯⎯
=
→∞
∑
1
0 } (3.4.3)
также имеет вероятность 1, то события (3.4.1) и (3.4.3) выполняются одно-
временно с вероятностью 1. При этом из неравенства (3.4.2) следует, что
1
n
({})
ξξ
kk
k
n
M−
=
∑
1
П. Н.
⎯→⎯⎯
0.
Необходимость. Пусть при n→∞
1
n
({})
ξξ
kk
k
n
M−
=
∑
1
=
S
n
n
П. Н.
⎯→⎯⎯ 0.
Так как
ξ
n
=S
n
−S
n−1
, то 
                        ∞                    ∞
                              1                      1         l
                     l∑               ≤ l∑                 =      ≤ 2 для l ≥ 2;
                       k =l k
                                2
                                            k = l k(k − 1)   l −1
и
                                                       ∞
                                                          π2
                                                           1
                                                   ∑ 2 = 6 <2.
                                                   k =l k
Поэтому
                                                       ∞                           ∞
                       n
                             D {η k }
                      ∑                      ≤ 2∑              ∫ x dF (x) =2 ∫ х dF (x) .
                      k =1      k2                     l=1 l−1≤ x < l              0

Значит, согласно теореме Колмогорова 1 при n→∞
                                             n
                                      1
                                      n
                                            ∑ ( η k − M {η k }) ⎯П.⎯⎯
                                                                    Н.
                                                                       → 0.
                                            k =1
     3. Поскольку
                                  k                                     ∞
                  M{ηk}= ∫ xdF ( x) ⎯k⎯⎯→
                                      →∞                                ∫ xdF (x) =M{ξk}=а,
                                −k                                      −∞
                                                                                       n
                                                                               1
то, как известно из математического анализа,
                                                                               n
                                                                                   ∑ M{η k } ⎯n⎯→∞
                                                                                                 ⎯→ a . Так как
                                                                                   k =1
с вероятностью 1 ηk отличается от ξk лишь для конечного числа индексов
k, то событие
                                                   n
                                            1
                                {ω:
                                            n
                                                 ∑ (ξ k − η k ) ⎯n⎯⎯→ 0 }
                                                                  →∞
                                                                                                        (3.4.1)
                                                 k =1
имеет вероятность 1. Очевидно, имеет место неравенство
       1 n            1 n                1 n                      1 n
         ∑ k
       n k =1
              ξ − a ≤   ∑ k k n∑ k
                      n k =1
                             ( ξ − η ) +       ( η − M { η k }) +   ∑ M{η k } − a . (3.4.2)
                                                                  n k =1
                                          k =1
Поскольку событие
                                                   n
                                            1
                                {ω:
                                            n
                                                 ∑ ( η k − M {η k }) ⎯n⎯⎯→ 0 }
                                                                       →∞
                                                                                                        (3.4.3)
                                                 k =1
также имеет вероятность 1, то события (3.4.1) и (3.4.3) выполняются одно-
временно с вероятностью 1. При этом из неравенства (3.4.2) следует, что
                                        n
                                  1
                                  n
                                      ∑ (ξ k − M{ξ k }) ⎯П.⎯⎯
                                                            Н.
                                                               → 0.
                                      k =1
     Необходимость. Пусть при n→∞
                                       n
                                1                                           Sn
                                n
                                      ∑ (ξ k − M{ξ k }) =                   n
                                                                               ⎯П.
                                                                                ⎯⎯ Н.
                                                                                      → 0.
                                      k =1
Так как ξn=Sn−Sn−1, то



98

Страницы