Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

9
7
1
n
({})ξξ
kk
k
n
M−
=
∑
1
П. Н.
⎯→⎯⎯ 0 при n→∞.
Теорема Колмлгорова 2. Пусть случайные величины ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
n
,... неза-
висимы и одинаково распределены. Тогда для того, чтобы при n
→∞
1
n
({})
ξξ
kk
k
n
M−
=
∑
1
П. Н.
⎯→⎯⎯ 0
необходимо и достаточно, чтобы существовало конечное математическое
ожидание M{
ξ
k
}, то есть
xdF x()
−∞
∞
∫
<∞.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы воспользуемся
приёмом усечения.
Достаточность. Доказательство достаточности разделим на несколько
этапов.
1. Введём в рассмотрение величины
η
k
=
ξξ
ξ
kk
k
k
k
,,
,.
<
≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
Тогда
P{
η
k
≠ξ
k
}= dF x
xk
()
≥
∫
= dF x
x
k
()
ll
l
≤<+
=
∞
∫
∑
1
,
P
kk
k
{}ηξ≠
=
∞
∑
1
= dF x
x
k
k
()
ll
l
≤<+
=
∞
=
∞
∫
∑∑
1
1
= dF x
x
k
()
ll
l
l
≤<+
=
=
∞
∫
∑∑
1
1
1
= l
ll
l
dF x
x
()
≤<+
=
∞
∫
∑
1
1
≤
≤ xdF x
x
()
ll
l
≤<+
=
∞
∫
∑
1
1
≤ xdF x()
−∞
∞
∫
<∞.
Поэтому по лемме Бореля-Кантелли с вероятностью 1
η
k
отлично от ξ
k
лишь для конечного числа индексов k.
2. Проверим для величины
η
k
выполнение условий теоремы Колмого-
рова 1. Оценим D{
η
k
}
D{
η
k
}≤M{ η
k
2
}= xdFx
xk
2
()
<
∫
=
xdFx
x
k
2
1
1
()
ll
l
−≤ <
=
∫
∑
≤
l
ll
l
xdF x
x
k
()
−≤ <
=
∫
∑
1
1
.
Отсюда
D
k
k
k
n
{}η
2
1
=
∑
≤
1
2
1
1
1
k
xdF x
k
x
l
l
ll
=
−≤ <
=
∞
∑
∫
∑
()
k
=
l
l
ll
l=
∞
−≤ <
=
∞
∑
∫
∑
1
1
2
1
xdF x
k
x
k
()
.
Оценим внутреннюю сумму 
                                       n
                                  1
                                  n
                                      ∑ ( ξ k − M{ξ k }) ⎯П.⎯⎯
                                                             Н.
                                                                → 0 при n→∞.
                                      k =1

   Теорема Колмлгорова 2. Пусть случайные величины ξ1,ξ2,...,ξn,... неза-
висимы и одинаково распределены. Тогда для того, чтобы при n→∞
                                                         n
                                                 1
                                                 n
                                                        ∑ (ξ k − M{ξ k }) ⎯П.⎯⎯
                                                                              Н.
                                                                                 →0
                                                        k =1
необходимо и достаточно, чтобы существовало конечное математическое
ожидание M{ ξ k }, то есть
                                                                 ∞

                                                                 ∫ x dF (x) <∞.
                                                                 −∞
   Доказательство. Для доказательства этой теоремы воспользуемся
приёмом усечения.
   Достаточность. Доказательство достаточности разделим на несколько
этапов.
   1. Введём в рассмотрение величины
                                                                       ⎧⎪ξ k , ξ k < k,
                                                                 ηk = ⎨
                                                                        ⎪⎩0, ξ k ≥ k.
Тогда
                                                                                 ∞
                                      P{ηk≠ξk}=                      ∫ dF ( x) = ∑            ∫ dF (x) ,
                                                                  x ≥k          l= k l≤ x < l+1
         ∞                                  ∞   ∞                           ∞   l                          ∞
         ∑ P{η k ≠ ξ k } = ∑ ∑                               ∫ dF (x) = ∑ ∑               ∫ dF (x) = ∑ l             ∫ dF (x) ≤
         k =1                              k =1 l= k l≤ x < l+1            l=1 k =1 l≤ x < l+1             l=1 l≤ x < l+1
         ∞                                  ∞
        ≤∑        ∫     x dF (x) ≤          ∫ x dF (x) <∞.
         l=1 l≤ x < l+1                    −∞

Поэтому по лемме Бореля-Кантелли с вероятностью 1 ηk отлично от ξk
лишь для конечного числа индексов k.
   2. Проверим для величины ηk выполнение условий теоремы Колмого-
рова 1. Оценим D{ηk}
                                                                            k                              k
                D{ηk}≤M{ η2k }=                         ∫x
                                                             2
                                                                 dF ( x) = ∑         ∫ x dF (x) ≤ ∑ l ∫ x dF (x) .
                                                                                          2

                                                     x

Страницы