Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 97 стр.

Но M {S 2k / E k } ≥ ε 2 , так как в определении Е k утверждалось, что ⏐ S k ⏐≥ε.
Заметим далее, не вдаваясь в тонкости, что Е k определяется лишь
η1 , η2 ,..., η k , то есть Е k не зависит от η j при j>k. В силу взаимности верно
и обратное, то есть η j при j>k не зависит от Е k . При этом для j>k и h>k
выполняется
                       M{ S k η j / Е k }= M{ S k / Е k }M{ η j }=0;
                       M{ η j η h / Е k }= M{ η j / Е k }M{ η h }=0.
Отсюда следует, что
                                   M {S 2n / E k } ≥ M {S 2k / E k } ≥ ε 2 .
Получаем оценку
                 n                          n                                     k
                ∑ D{ξ k } ≥ ε 2 ∑ P (E k ) = ε 2 P{ max ∑ (ξ s − M {ξ s }) ≥ε},
                                                                       1≤ k ≤ n
                k =1                       k =1                                   s=1
откуда и следует доказываемое равенство
                                            k                                            n
                                                                                  1
                       P{ max ∑ (ξ s − M {ξ s }) ≥ε}≤                                   ∑ D{ξ k } .
                                1≤ k ≤ n
                                           s=1                                    ε2    k =1
   Широкие и одновременно простые достаточные условия для осуществ-
ления усиленного закона больших чисел даёт теорема Колмогорова 1.
   Теорема Колмогорова 1. Если ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n ,... последовательность неза-
висимых случайных величин и
                                                       n
                                                             D{ξ k }
                                                      ∑           k2
                                                                       <∞,
                                                      k =1
то
                            n
                       1
                       n
                           ∑ (ξ k − M {ξ k }) ⎯П.⎯⎯
                                                  Н.
                                                     →0                           при n→∞.
                           k =1
                                                              n
                                                                                                 Sn
     Доказательство. Положим S n = ∑ (ξ k − M {ξ k }) и Vn =                                        .
                                                             k =1                                 n
Рассмотрим событие А m ={ω: max Vn ≥ε, 2 m ≤n< 2 m +1 }.
                                                  n
Оценим вероятность этого события. Условие Vn ≥ε можно переписать в
виде ⏐ S n ⏐≥εn. Поскольку с ростом n εn увеличивается, то
           {ω: S n ≥εn, 2 m ≤n< 2 m +1 }⊂{ω: S n ≥ε 2 m , 2 m ≤n< 2 m +1 }.
А это означает, что
                 P( А m )≤P({ω: max S n ≥ε 2 m , 2 m ≤n< 2 m +1 }).
                                                  n




                                                                                                        95