Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 96 стр.

Отсюда P( lim sup A n )=0, то есть с вероятностью 0 для любого N найдётся
               n →∞
такое n>N, что события A n наступят, то есть ⏐ ξ n −ξ⏐>ε. А это и означает,
что с вероятностью единица lim ξ n =ξ или ξ n ⎯П. Н.
                                               ⎯⎯→ ξ.
                                                    n →∞
   Рассмотрим неравенство Колмогорова, усиливающее неравенство Че-
бышева.
   Неравенство Колмогорова. Если ξ1 , ξ 2 ,... независимые случайные ве-
личины с конечными математическими ожиданиями и дисперсиями и ε>0,
то
                                                k                                        n
                                                                                   1
                              P{ max ∑ (ξ s − M {ξ s }) ≥ε}≤                            ∑ D{ξ k } .
                                     1≤ k ≤ n
                                                s=1                                ξ2   k =1
      Доказательство. Введём следующие события:
                      Е 0 ={ω:⏐ S1 ⏐<ε, ⏐ S 2 ⏐<ε,..., ⏐ S n ⏐<ε},
                 Е k ={ω:⏐ S1 ⏐<ε, ⏐ S 2 ⏐<ε,..., ⏐ S k −1 ⏐<ε, ⏐ S k ⏐≥ε}, k=1, n ,
где
                                                               k
                                                      S k = ∑ (ξ s − M {ξ s }) .
                                                              s=1
Очевидно, что Е 0 , Е k ,..., Е n образует полную группу попарно несовмест-
ных событий. Нетрудно видеть, что объединение событий Е k есть искомое
событие. Будем обозначать через M{ξ/A} математическое ожидание слу-
чайной величины ξ при условии наступления события А, т. е.
                                        1
                           M{ξ/A}=           ∫ ξ(ω )dP(ω ) .
                                      P( A ) A
Тогда, поскольку M{ S k }=0,
                  n                                     n                                      n
      D{ S n }= ∑ D{ξ k } =M{ S 2n }= ∑ M {S 2n / E k } P( E k )≥ ∑ M {S 2n / E k } P( E k ),
                 k =1                                  k =0                                  k =1
так как выбрасывается неотрицательное слагаемое. Введя обозначения
                            η j = ξ j −M{ ξ j },
получим
                                                                           n
                                                      Sn = Sk +           ∑ ηj .
                                                                         j= k +1
Отсюда
         S 2n = S 2k +2 S k   ∑ η j + ∑ η2j +2 ∑ η j η h ≥ S2k +2 S k ∑ η j +2 ∑ η j η h .
                              j> k          j> k              j> h > k                       j> k     j> h > k




94