Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

93
P(
B
n
)=P(Ω\A
m
mn
=
∞
U
)=P( ( \ )Ω A
m
mn
=
∞
I
)=P( A
m
mn
=
∞
I
)= lim ( )
k
m
mn
k
PA
→∞
=
∏
=
=
lim ( ( ))
k
m
mn
k
PA
→∞
=
−
∏
1 ≤ lim exp{ ( )}
k
m
mn
k
PA
→∞
=
−
∑
=e
PA
m
mn
−
=
∞
∑
()
.
Так как
PA
m
m
()
=
∞
∑
1
=∞, то при любом n: PA
m
mn
()
=
∞
∑
=∞, поэтому P( B
n
)=0 и,
следовательно, P(
B
n
)=1. Поскольку
lim sup
n
n
A
→∞
=B
n
n =
∞
1
I
,
то
P(
lim sup
n
n
A
→∞
)=P( B
n
n
=
∞
1
I
)= lim
n→∞
P( B
n
)=1.
Рассмотрим смысл доказанной леммы. Событие
lim sup
n
n
A
→∞
наступает,
когда наступает бесконечное число событий
A
n
. Поэтому, если
PA
n
n
()
=
∞
∑
1
=∞ и
A
n
независимы, то с вероятностью 1, то есть почти навер-
ное, наступит бесконечное число событий
A
n
; если же PA
n
n
()
=
∞
∑
1
<∞, то
почти наверное наступит конечное число событий
A
n
, поскольку
P(
lim sup
n
n
A
→∞
)=0.
Теорема 1. Пусть для некоторого k≥1 ряд M
n
k
n
{}ξξ−
=
∞
∑
1
сходится. То-
гда
ξ
n
сходится почти наверное к ξ при n→∞.
Доказательство. Пусть ε>0. Обозначим через A
n
событие
{
ω:⏐
ξ
n
−ξ⏐>ε}.
Тогда по неравенству Чебышева
P(
A
n
)=P({ω:⏐
ξ
n
−ξ⏐>ε})≤
M
n
k
k
{}ξξ
ε
−
,
поэтому
PA
n
n
()
=
∞
∑
1
≤
1
ε
k
M
n
k
n
{}ξξ−
=
∞
∑
1
<+∞. 
                                ∞             ∞                              ∞                         k
            P( B n )=P(Ω\       U A m )=P( I (Ω \ A m ) )=P( I A m )= klim
                                                                        →∞
                                                                           ∏ P(A m ) =
                             m=n           m=n                              m=n                      m= n
                                                                                                 ∞
                            k                                         k                      −   ∑ P(Am )
                   = lim
                    k →∞
                           ∏ (1 − P (A m )) ≤ lim exp{− ∑ P ( A m )} = e
                                                      k →∞
                                                                                                 m=n
                                                                                                              .
                           m= n                                      m= n
             ∞                                                 ∞
Так как     ∑ P (A m ) =∞, то при любом n: ∑ P (A m ) =∞, поэтому P( B n )=0 и,
            m =1                                              m= n
следовательно, P( B n )=1. Поскольку
                                                               ∞
                                         lim sup A n = I Bn ,
                                        n →∞                  n =1
то
                                                         ∞
                           P( lim sup A n )=P( I Bn )= lim P( B n )=1.
                                n →∞                   n =1          n →∞

       Рассмотрим смысл доказанной леммы. Событие lim sup A n наступает,
                                                                                         n →∞
когда наступает бесконечное число событий                                               An .         Поэтому, если
∞
∑ P (A n ) =∞ и     A n независимы, то с вероятностью 1, то есть почти навер-
n =1
                                                                                                       ∞
ное, наступит бесконечное число событий A n ; если же                                                  ∑ P (A n ) <∞,   то
                                                                                                       n =1
почти наверное наступит конечное число событий                                                        A n , поскольку
P( lim sup A n )=0.
     n →∞
                                                                            ∞
                                                                            ∑ M{ ξ n − ξ
                                                                                                  k
       Теорема 1. Пусть для некоторого k≥1 ряд                                                        } сходится. То-
                                                                            n =1
гда ξ n сходится почти наверное к ξ при n→∞.
   Доказательство. Пусть ε>0. Обозначим через A n событие
                               {ω:⏐ ξ n −ξ⏐>ε}.
Тогда по неравенству Чебышева
                                                                                         k
                                                                      M{ ξ n − ξ }
                       P( A n )=P({ω:⏐ ξ n −ξ⏐>ε})≤                                          ,
                                                                                   εk
поэтому
                                  ∞                    ∞
                                               1
                                ∑ P(A n ) ≤
                                                                            k

                                              ε   k    ∑ M{ ξ n − ξ             } <+∞.
                                n =1                   n =1




                                                                                                                        93

Страницы