Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

91
a
n
=M{
η
k
}= xdF x
n
n
()
−
∫
δ
δ
и D{
η
k
}= xdFx
n
n
n
22
()−
−
∫
a
δ
δ
≤ xdF x
n
n
()
−
∫
δ
δ
≤δbn,
где
b= xdF x()
−∞
∞
∫
. Поскольку при n→∞ a
n
→а, по теореме непрерывности для
меры, определяемой интегралом Лебега, то для любого
ε>0 для достаточно
больших n выполняется неравенство
⏐a
n
−а⏐<ε.
В силу неравенства Чебышева
P
n
k
k
n
{}
1
1
2
ηε
δ
ε
−≥≤
=
∑
a
b
n
.
Очевидно неравенство
1
1
n
k
k
n
η−
=
∑
a ≤
1
1
n
k
k
n
η−
=
∑
a
n
+⏐ a
n
−а⏐.
Если
1
1
n
k
k
n
η−
=
∑
a ≥2ε, а ⏐
a
n
−а⏐<ε, то
1
1
n
k
k
n
η−
=
∑
a
n
≥ε, откуда следует
P
n
k
k
n
{}
1
2
1
2
ηε
δ
ε
−≥ ≤
=
∑
a
b
.
Заметим теперь, что P{
ζ
k
≠0}= dF x
xn
()
≥
∫
δ
≤
1
δn
xdF x
xn
()
≥
∫
δ
.
Интеграл в правой части последнего неравенства в силу существования ма-
тематического ожидания становится меньше чем
δ
2
при достаточно больших n.
Но тогда
P{
ζ
k
k
n
=
∑
1
≠0}≤ P
k
k
n
{}ζ≠
=
∑
0
1
≤δ.
Очевидно неравенство
1
1
n
k
k
n
ξ−
=
∑
a ≤
11
11
nn
k
k
n
k
k
n
ξη−
==
∑∑
+
1
1
n
k
k
n
η
=
∑
− а ≤
1
n
ζ
k
k
n
=
∑
1
+
1
1
n
k
k
n
η−
=
∑
a .
Если 
                                                            δn
                                 an =M{ η k }=              ∫ xdF (x)
                                                        − δn
                                           δn                                δn

                                           ∫x                                 ∫ x dF ( x) ≤δbn,
                                                 2
и                             D{ η k }=              dF ( x) −     an2   ≤
                                          − δn                               − δn
         ∞
где b=   ∫ x dF (x) .   Поскольку при n→∞ an →а, по теореме непрерывности для
         −∞
меры, определяемой интегралом Лебега, то для любого ε>0 для достаточно
больших n выполняется неравенство
                                  ⏐ an −а⏐<ε.
В силу неравенства Чебышева
                            1 n               bδ
                         P{ ∑ η k − an ≥ ε} ≤ 2 .
                            n k =1            ε
Очевидно неравенство
                            1 n           1 n
                              ∑ η k − a ≤ n ∑ ηk − an
                            n k =1
                                                                         +⏐ an −а⏐.
                                            k =1
Если
                            1 n
                              ∑ η k − a ≥2ε, а
                            n k =1
                                                                 ⏐ an −а⏐<ε,        то

                            1 n
                              ∑ ηk − an ≥ε,
                            n k =1
                                                         откуда следует

                                 1 n              bδ
                               P{ ∑ ηk − a ≥ 2ε} ≤ 2 .
                                 n k =1           ε
                                                        1
Заметим теперь, что P{ ζ k ≠0}=         ∫ dF (x) ≤ δn ∫ x dF (x) .
                                   x ≥δn                         x ≥δn
   Интеграл в правой части последнего неравенства в силу существования ма-
тематического ожидания становится меньше чем δ 2 при достаточно больших n.
Но тогда
                                    n                   n
                                P{ ∑ ζ k ≠0}≤ ∑ P{ζ k ≠ 0} ≤δ.
                                   k =1                k =1
Очевидно неравенство
      1 n            1 n        1 n                  1 n             1               n
                                                                                             1 n
        ∑ k
      n k =1
             ξ − a ≤   ∑ k n ∑ ηk
                     n k =1
                            ξ −                  +     ∑
                                                     n k =1
                                                            ηk − а ≤
                                                                     n
                                                                                    ∑ ζk +     ∑ ηk − a .
                                                                                             n k =1
                                 k =1                                               k =1

Если




                                                                                                            91

Страницы