Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

89
≤
1
2
τ
δδ
В
n
+
xdFх
k
k
k
n
−
+
−∞
∞
=
∫
∑
a
2
1
δ
ξ
()=
1
2
τ
δδ
В
n
+
M
kk
k
n
{}ξ
δ
−
+
=
∑
a
2
1
→0
при n
→∞ и любом τ>0, что означает выполнение условия Линдеберга.
Теорема 5. Если независимые случайные величины ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
,..., ξ
n
,...
одинаково распределены и имеют конечную отличную от нуля дисперсию
σ
2
=D{ξ
k
}, то
lim
n→∞
P{η
n
<x}=F(х).
Доказательство. Здесь также достаточно проверить, что при сделан-
ных предположениях выполняется условие Линдеберга. В этом случае
B
n
=σ n ,
где
σ
2
обозначает дисперсию отдельного слагаемого. Положив М{ξ
k
}=a,
можно записать
1
2
В
n
()()xdFх
k
xB
k
n
k
kn
−
−≥
=
∫
∑
a
a
2
1
ξ
τ
=
1
2
nσ
n ()()xdFх
xn
−
−≥
∫
a
a
2
τσ
=
=
1
2
σ
()()xdFх
xn
−
−≥
∫
a
a
2
τσ
→0 при n→∞
в силу того, что
()()xdFх−
−∞
∞
∫
a
2
=σ
2
<+∞
и мера, определяющая интеграл Лебега, обладает свойством непрерывно-
сти.
§3. Закон больших чисел
В теории вероятностей большое значение имеют события с вероятностями,
близкими к нулю или единице. Поэтому важным является установление законо-
мерностей, происходящих с вероятностями, близкими к единице, где особую
роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения
большого числа независимых или слабо зависимых случайных факторов. Зако-
номерности такого рода и условия их
возникновения составляют содержание
ряда важных теорем, получивших общее название закона больших чисел. Рас-
смотрим некоторые из них.
Пусть имеется последовательность независимых испытаний, в каждом из ко-
торых событие А появляется с вероятностью p. Случайная величина
ξ
k
=1, если
событие А происходит в k-ом испытании,
ξ
k
=0 в противном случае. Тогда слу-
чайные величины
ξ
ξξ
12
,, ...,
n
,... будут независимыми и одинаково распреде-
лёнными по закону Бернулли с 
                               n   ∞                                                      n
                      1                            2+δ                          1                                2+ δ
         ≤       δ             ∑ ∫ x − ak                dFξ k ( х )=                    ∑ M{ ξ k − ak                  } →0
             τ       В2n+ δ k =1 −∞                                     τ   δ
                                                                                В2n+ δ k =1
при n→∞ и любом τ>0, что означает выполнение условия Линдеберга.
   Теорема 5. Если независимые случайные величины ξ1, ξ2, ξ3,..., ξn,...
одинаково распределены и имеют конечную отличную от нуля дисперсию
σ2=D{ξk}, то
                          lim P{ηn

Страницы