Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 92 стр.

                  P{ ξ k =1}=p, P{ ξ k =0}=1−p=q, M{ ξ k }=0⋅q+1⋅p=p,
                 D{ ξ k }=M{ ξ 2 }− (M {ξ}) 2 =M{ξ}− (M {ξ}) 2 =p− p 2 =pq.
Сумма S n = ξ1 + ξ 2 +...+ ξ n представляет собой число появлений события А в n
                                                                    S  pq
первых испытаниях. Поэтому M{ S n }=np, D{ S n }=npq, D{ n }=             .
                                                                     n  n
    Теорема 1. (Бернулли) В перечисленных выше условиях, для любого ε>0
                                     S
                                P{⏐ n −p⏐>ε}→0 при n→∞.
                                      n
    Доказательство. В соответствии с неравенством Чебышева при n→∞
                                        S                 pq
                                  P{⏐ n −p⏐>ε}< 2 →0,
                                         n               nε
что и требовалось доказать.
                                                                            S
    В соответствии со статистическим определением вероятности n можно
                                                                             n
рассматривать как частоту появления события А, для которого P(A)=p. Оказыва-
                                  S
ется, что в известном смысле n неограниченно сближается с p.
                                   n
    Закон больших чисел для схемы Бернулли можно записать в виде
                                            Sn     Р
                                                ⎯ ⎯  → p.
                                             n
Выполнение условий сходимости по вероятности налицо, однако сказать что-
либо о сходимости почти наверное, то есть сходимости с вероятностью 1, в дан-
ном случае нельзя.
    Теорема 2. (Хинчина) Пусть ξ1 , ξ 2 , ..., ξ n ,... - независимые одинаково рас-
пределённые случайные величины с конечными математическими ожиданиями
M{ ξ k }=а. Тогда для любого ε>0
                                     S
                                P{⏐ n −а⏐>ε}→0 при n→∞.
                                      n
    Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся приёмом, на-
зываемым усечением.
    Определим новые случайные величины следующим образом: пусть δ>0 фик-
сировано и для k=1, n
                               η k = ξ k , ς k =0, если ⏐ ξ k ⏐<δn;
                               η k =0, ς k = ξ k , если ⏐ ξ k ⏐≥δn.
Очевидно, что при любом k (1≤k≤n)
                                         ξ k = ηk + ς k .
Для случайных величин η k существует




90