Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

88
+ u
2
xdF х
kn
x
2
ξ
τ
()
≥
∫
≤
u
3
6
τ
σ
k
n
B
2
2
+ u
2
xdF х
kn
x
2
ξ
τ
()
≥
∫
.
Так как
⏐u⏐≤T, то, делая замену переменных, получаем оценку для ρ
n
⏐ρ
n
⏐≤
Т
3
6
τ+
Т
В
n
2
2
()()xdFх
k
xB
k
n
k
kn
−
−≥
=
∫
∑
a
a
2
1
ξ
τ
.
В силу произвольности
τ и выполнения условия Линдеберга получаем, что
⏐ρ
n
⏐→0 при n→∞.
Таким образом, показано, что при каждом u и n
→∞
ψ
η
n
(u)= −
u
2
2
+R
n
+ρ
n
→ −
u
2
2
,
что соответствует нормальному распределению с нулевым средним и еди-
ничной дисперсией, функция распределения которого F(х). Отсюда
lim
n→∞
P{η
n
<x}=F(х),
то есть имеет место сходимость по распределению к N(0,1).
Для последовательности (3.2.1) можно указать и другие достаточные
условия сходимости к нормальному распределению. Например, условие
Ляпунова. Применение его более ограничительно, чем условие Линдебер-
га, но в ряде случаев оно легче для проверки.
Теорема 4. (Ляпунова) Если для последовательности независимых слу-
чайных величин
ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
,..., ξ
n
,... можно подобрать такое δ>0, что
1
2
2
1
B
M
n
kk
k
n
+
+
=
−
∑
δ
δ
ξ{}a →0 (3.2.2)
при n
→∞, то lim
n→∞
P{η
n
<x}=F(х).
Доказательство. Здесь достаточно проверить, что условие Ляпунова
(3.2.2) влечёт за собой выполнение условия Линдеберга. Это следует из
цепочки неравенств, при использовании того, что область интегрирования
определяется неравенством
x
B
k
n
− a
τ
≥1
и поэтому при любом
δ>0
x
B
k
n
− a
δ
δδ
τ
≥1.
1
2
В
n
()()xdFх
k
xB
k
n
k
kn
−
−≥
=
∫
∑
a
a
2
1
ξ
τ
≤
1
2
В B
nn
()τ
δ
() ()xdFх
k
xB
k
n
k
kn
−
+
−≥
=
∫
∑
a
a
2
1
δ
ξ
τ
≤ 
                                             3
                                         u           σ 2k
               ∫x        dFξ kn ( х) ≤           τ                       ∫x
          2
     +u              2
                                                            + u2              2
                                                                                  dFξ kn ( х) .
              x ≥τ
                                         6           B2n             x ≥τ

Так как ⏐u⏐≤T, то, делая замену переменных, получаем оценку для ρn
                                                 3
                                             Т              Т2       n
                               ⏐ρn⏐≤
                                             6
                                                     τ+              ∑
                                                            В2n k =1 x − ak ≥ τBn
                                                                                  ∫ (x − ak )
                                                                                                    2
                                                                                                        dF ξ k ( х) .

В силу произвольности τ и выполнения условия Линдеберга получаем, что
                           ⏐ρn⏐→0 при n→∞.
   Таким образом, показано, что при каждом u и n→∞
                                                         u2          u2
                                             ψ ηn (u)= −    +Rn+ρn→ − ,
                                                         2           2
что соответствует нормальному распределению с нулевым средним и еди-
ничной дисперсией, функция распределения которого F(х). Отсюда
                           lim P{ηn0, что
                                                                 n
                                                       1                                     2+ δ
                                                              ∑ M{ ξ k − ak
                                                     B2n+δ k =1
                                                                                                    } →0                                      (3.2.2)

при n→∞, то lim P{ηn0
                                                                                   δ
                                                                     x − ak
                                                                                       ≥1.
                                                                         τ δ Bδn
                n                                                                        n
       1                                                                    1
              ∑
      В2n k =1 x − ak ≥ τBn
                            ∫ (x − ak ) dF ξ k (х) ≤
                                       2
                                                                                        ∑
                                                                 В2n (τBn ) δ k =1 x − ak ≥ τBn
                                                                                                        ∫ (x − ak )
                                                                                                                        2+ δ
                                                                                                                               dF ξ k (х) ≤



88

Страницы