Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

8
6
Здесь х - вещественное число, y - произвольное число, такое, что ⏐y⏐≤
1
2
.
Докажем их для х>0, что является достаточным
⏐x⏐=⏐ dt
x
0
∫
⏐≥⏐ edt
it
x
0
∫
⏐=⏐e
ix
−1⏐.
Используя это неравенство, находим следующее
x
2
2
=⏐ tdt
x
0
∫
⏐≥⏐ ()edt
it
x
−
∫
1
0
⏐=⏐
e
ix
−1
i
−x⏐=⏐e
ix
−1−ix⏐.
И опять на основании предыдущего получим
x
3
6
=
⏐
t
dt
x
2
0
2
∫
⏐≥⏐ ()eitdt
it
x
−−
∫
1
0
⏐=⏐
e
ix
−
1
i
−x−
ix
2
2
⏐=⏐e
ix
−1−ix+
x
2
2
⏐.
Последнее неравенство получаем из соотношений
⏐ln (1+y)−y⏐=⏐
t
t
dt
y
1
0
+
∫
⏐≤2⏐ tdt
y
0
∫
⏐=⏐y⏐
2
.
2. Докажем теперь, что
max
1≤≤kn
⏐g
kn
ξ
(u)−1⏐→0 при n→∞, где
g
kn
ξ
(u)=M{
e
i
kn
uξ
}. Так как М{ξ
kn
}=0, то
xdF х
kn
ξ
()
−∞
∞
∫
=0 и, кроме то-
го,
dF х
kn
ξ
()
−∞
∞
∫
=1, где F
kn
ξ
- функция распределения случайной величины ξ
kn
.
Используя предыдущие неравенства, получаем
⏐g
kn
ξ
(u)−1⏐=⏐ edF х
iux
kn
ξ
()
−∞
∞
∫
− dF х
kn
ξ
()
−∞
∞
∫
−iu xdF х
kn
ξ
()
−∞
∞
∫
⏐≤
≤ e iuxdF х
iux
kn
−−
−∞
∞
∫
1
ξ
()≤
u
2
2
xdF х
kn
2
ξ
()
−∞
∞
∫
=
u
2
2
D{ξ
kn
}=
u
2
2
⋅
σ
k
n
B
2
2
.
В силу того, что
max
1≤≤kn
σ
k
n
B
2
2
→0 при n→∞, получаем, что
max
1≤≤kn
⏐g
kn
ξ
(u)−1⏐→0 при n→∞.
3. В силу пункта 2 для достаточно больших n и всех значений k при u,
лежащих в произвольном конечном интервале
⏐u⏐≤Т,
⏐1−g
kn
ξ
(u)⏐<
1
2
,
поэтому определены
ψ
ξ
kn
(u)=ln g
kn
ξ
(u) и законно разложение
ln g
kn
ξ
(u)=ln(1+( g
kn
ξ
(u)−1)) по степеням ( g
kn
ξ
(u)−1). Следовательно, 
                                                                                                                     1
Здесь х - вещественное число, y - произвольное число, такое, что ⏐y⏐≤ .
                                                                                                                     2
Докажем их для х>0, что является достаточным
                                                       x            x
                                       ⏐x⏐=⏐ ∫ dt ⏐≥⏐ ∫ e it dt ⏐=⏐eix−1⏐.
                                                       0            0
Используя это неравенство, находим следующее
                       x         x
                 x2                              e ix − 1
                    =⏐ ∫ tdt ⏐≥⏐ ∫ (e − 1)dt ⏐=⏐
                                     it
                                                          −x⏐=⏐eix−1−ix⏐.
                 2     0         0
                                                     i
И опять на основании предыдущего получим
       3    x 2      x
     x        t                            e ix − 1      ix 2            x2
         =⏐ ∫ dt ⏐≥⏐ ∫ (e − 1 − it )dt ⏐=⏐
                         it
                                                    −x −      ⏐=⏐e −1−ix+ ⏐.
                                                                  ix
     6      0
               2     0
                                               i          2              2
Последнее неравенство получаем из соотношений
                                                             y                       y
                                                                t
                            ⏐ln (1+y)−y⏐=⏐ ∫                        dt ⏐≤2⏐ ∫ tdt ⏐=⏐y⏐2.
                                                             0
                                                               1+ t         0
     2.   Докажем                теперь,               что       max ⏐ g ξ kn (u)−1⏐→0                 при   n→∞,   где
                                                                 1≤ k ≤ n
                                                                                     ∞
                  iξ kn u
g ξ kn (u)=M{ e             }. Так как М{ξkn}=0, то ∫ xdFξ kn ( х) =0 и, кроме то-
                                                                                     −∞
     ∞
го, ∫ dFξ kn ( х) =1, где Fξ kn - функция распределения случайной величины ξkn.
     −∞
Используя предыдущие неравенства, получаем
                                                   ∞                            ∞                 ∞
             ⏐ g ξ kn (u)−1⏐=⏐ ∫ e iux dFξ kn ( х) − ∫ dFξ kn ( х) −iu ∫ xdFξ kn ( х) ⏐≤
                                               −∞                               −∞                −∞
             ∞                                                   2 ∞
                                                    u                                u        2
                                                                                               u 2 σ 2k
           ≤∫e      iux
                            − 1 − iux dFξ kn ( х) ≤                  ∫ x dFξ kn (х) = 2 D{ξkn}= 2 ⋅ B2 .
                                                                            2

            −∞
                                                     2              −∞                                n
                                       σ 2k
В силу того, что max                          →0 при n→∞, получаем, что
                            1≤ k ≤ n   B2n
                                         max ⏐ g ξ kn (u)−1⏐→0 при n→∞.
                                        1≤ k ≤ n
   3. В силу пункта 2 для достаточно больших n и всех значений k при u,
лежащих в произвольном конечном интервале ⏐u⏐≤Т,
                                                                                     1
                                                           ⏐1− g ξ kn (u)⏐< ,
                                                                                     2
поэтому      определены                            ψ ξ kn (u)=ln g ξ kn (u)               и   законно        разложение
ln g ξ kn (u)=ln(1+( g ξ kn (u)−1)) по степеням ( g ξ kn (u)−1). Следовательно,


86

Страницы