Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

8
7
ln g
n
η
(u)= lngu)
kn
k
n
ξ
(
=
∑
1
= ln(( ( ))11
1
+−
=
∑
gu)
kn
k
n
ξ
= (())gu
kn
k
n
ξ
−
=
∑
1
1
+R
n
,
отсюда получаем
R
n
= ln(( ( ))11
1
+−
=
∑
gu)
kn
k
n
ξ
− (())gu
kn
k
n
ξ
−
=
∑
1
1
.
В силу неравенства
⏐ln (1+y)−y⏐≤⏐y⏐
2
, где ⏐y⏐=⏐g
kn
ξ
(u)−1⏐, получаем
⏐R
n
⏐≤ gu
kn
k
n
ξ
()−
=
∑
1
2
1
≤
max
1≤≤kn
⏐g
kn
ξ
(u)−1⏐⋅ gu
kn
k
n
ξ
()−
=
∑
1
1
.
Но как получено в пункте 2,
⏐g
kn
ξ
(u)−1⏐≤
u
2
2
⋅
σ
k
n
B
2
2
≤
Т
2
2
⋅
σ
k
n
B
2
2
,
и поэтому
gu
kn
k
n
ξ
()−
=
∑
1
1
≤
Т
2
2
⋅
1
2
2
1
B
n
k
k
n
σ
=
∑
=
Т
2
2
.
Следовательно,
⏐R
n
⏐≤
Т
2
2
max
1≤≤kn
⏐g
kn
ξ
(u)−1⏐→0 при n→∞.
4. Представим теперь (
g
kn
ξ
(u)−1) при М{ξ
kn
}=0 и D{ξ
kn
}=
σ
k
n
B
2
2
в виде
g
kn
ξ
(u)=1−
u
2
2
⋅
σ
k
n
B
2
2
+ρ
kn
.
Отсюда
ψ
η
n
(u)= −
u
2
2
+ρ
n
+R
n
, ρ
n
= ρ
kn
k
n
=
∑
1
.
Покажем, что при n
→∞ ρ
n
→0. Рассмотрим
⏐ρ
kn
⏐=⏐ ()()eiux
ux
dF х
iux
kn
−− +
−∞
∞
∫
1
2
22
ξ
⏐=
=
⏐ ()()eiux
ux
dF х
iux
x
kn
−− +
<
∫
1
2
22
ξ
τ
+ ()()eiux
ux
dF х
iux
x
kn
−− +
≥
∫
1
2
22
ξ
τ
⏐≤
≤ eiux
ux
dF х
iux
x
kn
−− +
<
∫
1
2
22
ξ
τ
()+ eiux
ux
dF х
iux
x
kn
−− +
≥
∫
1
2
22
ξ
τ
()≤
≤
u
xdF х
kn
x
3
3
6
ξ
τ
()
<
∫
+u
2
xdF х
kn
x
2
ξ
τ
()
≥
∫
≤
u
3
6
τ xdF х
kn
x
2
ξ
τ
()
<
∫
+ 
                                n                               n                                                   n
         ln g ηn (u)= ∑ lng ξ kn (u) =                         ∑ ln(1 + (g ξ         kn
                                                                                          (u) − 1)) = ∑ ( g ξ kn ( u ) − 1) +Rn,
                               k =1                            k =1                                                k =1
отсюда получаем
                                             n                                                n
                                    Rn= ∑ ln(1 + (g ξ kn (u) − 1)) − ∑ ( g ξ kn ( u ) − 1) .
                                          k =1                                             k =1
В силу неравенства ⏐ln (1+y)−y⏐≤⏐y⏐ , где ⏐y⏐=⏐ g ξ kn (u)−1⏐, получаем          2

                                    n                      2                                                       n
                   ⏐Rn⏐≤ ∑ g ξ kn ( u ) − 1 ≤ max ⏐ g ξ kn (u)−1⏐⋅ ∑ g ξ kn ( u ) − 1 .
                                                                      1≤ k ≤ n
                                k =1                                                                              k =1
Но как получено в пункте 2,
                                                          u 2 σ 2k Т 2 σ 2k
                                          ⏐ g ξ kn (u)−1⏐≤ ⋅ 2 ≤      ⋅     ,
                                                           2 Bn     2 B2n
и поэтому
                                         n
                                                                             Т2 1                 n
                                                                                                                    Т2
                                        ∑        g ξ kn ( u ) − 1 ≤            ⋅
                                                                             2 B2n
                                                                                               ∑ σ 2k =             2
                                                                                                                       .
                                        k =1                                                   k =1
Следовательно,
                                                  Т2
                                ⏐Rn⏐≤                max ⏐ g ξ kn (u)−1⏐→0 при n→∞.
                                                  2 1≤ k ≤n
                                                                                                                                 σ 2k
   4. Представим теперь ( g ξ kn (u)−1) при М{ξkn}=0 и D{ξkn}=                                                                          в виде
                                                                                                                                 B2n
                                                                       u 2 σ 2k
                                                         g ξ kn (u)=1−    ⋅     +ρkn.
                                                                        2 B2n
Отсюда
                                                               u2                                             n
                                        ψ ηn (u)= −               +ρn+Rn,                         ρn= ∑ ρ kn .
                                                               2                                             k =1
Покажем, что при n→∞ ρn→0. Рассмотрим
                                                    ∞
                                                                                  u 2x2
                                ⏐ρkn⏐=⏐             ∫ (e                                )dFξ kn ( х) ⏐=
                                                           iux
                                                                      − 1 − iux +
                                                    −∞
                                                                                    2
                                                   2 2
                                                 u x                                     u 2 x2
   =⏐     ∫       (e iux − 1 − iux +
                                                   2
                                                     )dFξ kn ( х) + ∫ (e iux − 1 − iux +
                                                                                           2
                                                                                                )dFξ kn ( х) ⏐≤
         x <τ                                                      x ≥τ

                                                 u 2x2                                   u 2x2
     ≤        ∫    e iux − 1 − iux +
                                                   2
                                                       dFξ kn ( х) + ∫ e iux − 1 − iux +
                                                                                           2
                                                                                               dF ξ kn ( х) ≤
          x <τ                                                      x ≥τ
              3                                                                            3
         u                3                                                           u
     ≤              ∫x                                   ∫x        dFξ kn ( х) ≤               τ       ∫x
                                                    2          2                                             2
                              dFξ kn ( х) +u                                                                     dFξ kn ( х) +
          6        x <τ                                 x ≥τ
                                                                                          6           x <τ



                                                                                                                                                 87

Страницы