Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

85
⏐х−a
k
⏐≥ τB
n
и
()x
B
k
n
− a
2
22
τ
≥1.
Таким образом, условие Линдеберга представляет собой своего рода тре-
бование равномерной малости слагаемых ξ
kn
по индексу k, так как
P
kn
kn
{max }
1≤≤
≥ξτ стремится к нулю при n→∞. По поводу смысла этого усло-
вия можно отметить также, что оно влечёт за собой равномерную малость
дисперсии величин
ξ
kn
=
ξ
kk
n
B
−
a
.
Действительно, рассматривая соотношение D{ξ
kn
}=
σ
k
n
B
2
2
, получаем
σ
k
n
B
2
2
=
1
2
B
n
()()xdFx
k
k
−
−∞
∞
∫
a
2
ξ
=
1
2
B
n
[ ()()xdFx
k
xB
k
kn
−
−<
∫
a
a
2
ξ
τ
+
+
()()xdFx
k
xB
k
kn
−
−≥
∫
a
a
2
ξ
τ
]≤τ
2
+
1
2
B
n
()()xdFx
k
xB
k
kn
−
−≥
∫
a
a
2
ξ
τ
.
Поэтому при выполнении условия Линдеберга и в силу произвольности τ,
получаем
max
1≤≤kn
σ
k
n
B
2
2
→0 при n→∞,
что и доказывает равномерную малость ξ
kn
.
Рассмотрим теперь центральную предельную теорему в форме Линде-
берга.
Теорема 3. Для того, чтобы для независимых случайных величин ξ
1
, ξ
2
,
ξ
3
,..., ξ
n
имело место lim
n→∞
P{η
n
<x}=F(х) и max
1≤≤kn
σ
k
n
B
2
2
→0 при n→∞, достаточно
выполнение условия Линдеберга.
Доказательство. Доказательство разобьём на несколько этапов.
1
. Для доказательства понадобятся следующие неравенства:
⏐e
ix
−1⏐≤⏐x⏐,
⏐e
ix
−1−ix⏐≤
x
2
2
,
⏐e
ix
−1−ix+
x
2
2
⏐≤
x
3
6
,
⏐ln (1+y)−y⏐≤⏐y⏐
2
. 
                                                                      (x − ak ) 2
                                    ⏐х−ak⏐≥ τBn и                                           ≥1.
                                                                            τ 2 B2n
Таким образом, условие Линдеберга представляет собой своего рода тре-
бование равномерной малости слагаемых ξkn по индексу k, так как
P{max ξ kn ≥ τ} стремится к нулю при n→∞. По поводу смысла этого усло-
  1≤ k ≤ n
вия можно отметить также, что оно влечёт за собой равномерную малость
дисперсии величин
                                                             ξ k − ak
                                                      ξkn=            .
                                                                Bn
                                                                                              σ 2k
Действительно, рассматривая соотношение D{ξkn}=                                                        , получаем
                                                                                              B2n
                               ∞
             σ 2k        1                                          1
                               ∫ (x − ak )                                           ∫ (x − ak )
                                               2                                                     2
                     =                              dF ξ k ( x) =          [                             dF ξ k (x) +
             B2n         B2n −∞                                     B2n        x − ak < τBn

                                                                     1
                         ∫ (x − ak ) dF ξ k (x) ]≤τ +                                ∫ (x − ak )
                                    2              2                                               2
              +                                                                                        dF ξ k (x) .
                    x − ak ≥ τBn                                    B2n        x − ak ≥ τBn

Поэтому при выполнении условия Линдеберга и в силу произвольности τ,
получаем
                                                     σ 2k
                                         max                →0 при n→∞,
                                         1≤ k ≤ n    B2n
что и доказывает равномерную малость ξkn.
   Рассмотрим теперь центральную предельную теорему в форме Линде-
берга.
   Теорема 3. Для того, чтобы для независимых случайных величин ξ1, ξ2,
                                                                                     σ 2k
ξ3,..., ξn имело место lim P{ηn

Страницы