Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

83
Тогда разложение ψ(u) для произвольной случайной величины в ряд
Тейлора в окрестности точки u=0 имеет вид
ψ(u)= ψ(0)+ ψ′(0)u+
ψ
"
()
!
0
2
u
2
+o(u
2
).
Поэтому для случайной величины ξ
k
кумулянтная функция имеет вид
ψ
ξ
k
u()=iau−
σ
22
2
u
+o(u
2
).
А для случайной величины ξ=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
+...+ξ
n
кумулянтная функция равна
ψ
ξ
(u)= ψ
ξ
k
u
k
n
()
=
∑
1
=niau−n
σ
22
2
u
+no(u
2
).
Случайную величину η
n
представим в виде
η
n
=
ξ
σ
σ
k
k
n
n
n
=
∑
−
1
a
.
Тогда её кумулянтная функция будет равна
ψ
η
n
u)( =ian
u
n
nu
n
i
n
uno
u
n
σ
σ
σ
σ
σ
−−+
22
2
2
2
2( )
()
a
= −+
u
no
u
n
22
2
2
()
σ
.
Переходя к пределу при n→∞, получим
lim
n→∞
ψ
η
k
u()= −
u
2
2
,
что соответствует нормальной случайной величине с нулевым математиче-
ским ожиданием и единичной дисперсией. В силу теоремы 1
η
n
F
⎯→⎯
N(0,1), то есть lim
n→∞
F
n
(x)= lim
n→∞
P{η
n
<x}=F(х).
Рассмотрим теперь условия сходимости к нормальному закону, когда
последовательность ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
,..., ξ
n
,... образована независимыми, но не обя-
зательно одинаково распределёнными случайными величинами. Эти усло-
вия даёт так называемая центральная предельная теорема для произволь-
ных последовательностей независимых случайных величин. Как и в теоре-
ме 2, предполагается существование математических ожиданий М{ξ
k
}=a
k
и
дисперсий D{ξ
k
}=σ
k
2
.
Введём обозначение
B
n
2
= σ
k
k
n
2
1=
∑
=D{ ξ
k
k
n
=
∑
1
}
и будем рассматривать случайные величины 
   Тогда разложение ψ(u) для произвольной случайной величины в ряд
Тейлора в окрестности точки u=0 имеет вид
                                                           ψ " (0) 2
                            ψ(u)= ψ(0)+ ψ′(0)u+                   u +o(u2).
                                                             2!
Поэтому для случайной величины ξk кумулянтная функция имеет вид
                                                     σ2u 2
                                 ψ ξ k ( u ) =iau−         +o(u2).
                                                      2
А для случайной величины ξ=ξ1+ξ2+ξ3+...+ξn кумулянтная функция равна
                                  n
                                                            σ2u 2
                      ψξ(u)= ∑ ψ ξ k ( u ) =niau−n                +no(u2).
                                 k =1                        2
Случайную величину ηn представим в виде
                                              n
                                             ∑ ξk         a n
                                        ηn= k =1      −       .
                                              σ n          σ
Тогда её кумулянтная функция будет равна
                       u         σ 2 nu 2          a n         u2      u2      u2
      ψ ηn (u) =ian         −                −i        u + no( 2 ) = −    + no( 2 ) .
                      σ n       2( σ n ) 2          σ         σ n      2       σ n
Переходя к пределу при n→∞, получим
                                                           u2
                                        lim ψ ηk ( u ) = −    ,
                                        n→∞                2
что соответствует нормальной случайной величине с нулевым математиче-
ским ожиданием        и единичной дисперсией. В силу теоремы 1
     F
ηn ⎯⎯→ N(0,1), то есть lim Fn(x)= lim P{ηn

Страницы