Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 84 стр.

числом слагаемых и считать, что решение интересующих нас задач дается
предельными функциями распределения для последовательности функций
распределения сумм случайных величин с произвольными функциями рас-
пределения. В этих условиях возникает вероятностная закономерность -
большая сумма достаточно малых независимых случайных величин оказы-
вается нормально распределённой. Закономерность возникает невзирая на
отсутствие всякой закономерности.
    Условия, при которых верна центральная предельная теорема, доста-
точно часто хорошо выполняются на практике. Поэтому и с нормальными
случайными величинами приходится сталкиваться часто.
    Рассмотрим без доказательства так называемую теорему непрерывно-
сти, дающую связь между сходимостями функций распределения и соот-
ветствующими им характеристическими функциями. Эта теорема является
основой для исследований по центральной предельной теореме.
    Теорема 1. Пусть последовательность функций распределения Fn(x)
сходится к F(x) в каждой точке её непрерывности. Тогда последователь-
ность соответствующих характеристических функций gn(u) сходится к
g(u)-характеристической функции F(x).
    Обратно, если gn(x)→g(x) при n→∞ и g(u) непрерывна при u=0, то g(u)
является характеристической функцией некоторой случайной величины с
функцией распределения F(x) и lim F n (x) = F (х) в каждой точке непрерыв-
                                     n →∞
ности F(x).
   Рассмотрим теперь центральную предельную теорему в её простейшей
форме.
   Теорема 2. Пусть ξ1, ξ2, ξ3,..., ξn,... - последовательность независимых,
одинаково распределённых случайных величин с математическим ожида-
нием М{ξk}=а и дисперсией D{ξk}=σ2, где 0<σ2<∞. Тогда для функции
распределения Fn(x) случайной величины
                                    ξ1 + ξ 2 +... + ξ n − n a
                              ηn=
                                             σ n
имеет место соотношение
                        lim Fn(x)= lim P{ηn