Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

80
P(⏐ξ
n
−ξ⏐>ε)≤
11
ε
ξξ ω
ε
ξξ ω
k
n
k
B
k
n
k
dP dP−≤−
∫∫
() ()
Ω
или
P(⏐ξ
n
−ξ⏐>ε)≤
M
n
k
k
{}ξξ
ε
−
.
Это неравенство называется
неравенством Чебышева.
Если ξ
n
сквр..
⎯
→
⎯
⎯
ξ, то lim {( ) }
n
n
M
→∞
−ξξ
2
=0 и из неравенства Чебышева
при k=2 следует, что ∀ ε>0
lim { }
n
n
P
→∞
−>ξξε=0, то есть ξ
n
p
⎯→⎯ ξ.
Отметим, что из сходимости по вероятности не следует сходимость в
среднеквадратическом.
Теорема 3. Из сходимости по вероятности следует сходимость по рас-
пределению.
Доказательство. Пусть ξ
n
сходится по вероятности к ξ, то есть
lim { }
n
n
P
→∞
−>ξξε=0. Это означает, что для любых ε и δ, больших нуля, су-
ществует такое N, что для любого n>N P{⏐ξ
n
−ξ⏐>ε}<δ, то есть вероятность
того, что ξ
n
отклоняется от ξ больше чем на ε, меньше δ.
Поэтому для произвольного х справедливы неравенства
P{ξ
n
<x}≤ P{ξ<x+ε}+δ;
P{ξ<x−ε}≤ P{ξ
n
<x}+δ
или, объединяя эти неравенства, получим
P{ξ<x−ε}−δ ≤ P{ξ
n
<x}≤ P{ξ<x+ε}+δ.
Тогда P{ξ<x−ε}−δ≤
lim
n→∞
P{ξ
n
<x}≤ P{ξ<x+ε}+δ. В силу произвольности ε и δ,
получим
P{ξ<x} ≤
lim
n→∞
P{ξ
n
<x}≤ P{ξ≤x},
а если
F(x)= P{ξ<x}=F(x+0)=P{ξ≤x},
то
lim
n→∞
F
n
(x)=F(x).
Связь между различными видами сходимости можно представить в ви-
де логической схемы. 
                            1             k              1               k
            P(⏐ξn−ξ⏐>ε)≤
                           εk
                              ∫ ξn − ξ        dP(ω ) ≤
                                                         εk
                                                              ∫ ξn − ξ       dP (ω )
                                B                             Ω
или
                                                              k
                                              M{ ξ n − ξ }
                          P(⏐ξn−ξ⏐>ε)≤                            .
                                                   εk
Это неравенство называется неравенством Чебышева.
   Если ξn ⎯с⎯ ⎯→ ξ, то lim M {( ξ n − ξ) 2 } =0 и из неравенства Чебышева
              р.кв .
                           n →∞

                                                              ⎯p→ ξ.
при k=2 следует, что ∀ ε>0 lim P{ ξ n − ξ > ε} =0, то есть ξn ⎯
                                n →∞
    Отметим, что из сходимости по вероятности не следует сходимость в
среднеквадратическом.
    Теорема 3. Из сходимости по вероятности следует сходимость по рас-
пределению.
    Доказательство. Пусть ξn сходится по вероятности к ξ, то есть
 lim P{ ξ n − ξ > ε} =0. Это означает, что для любых ε и δ, больших нуля, су-
n →∞
ществует такое N, что для любого n>N P{⏐ξn−ξ⏐>ε}<δ, то есть вероятность
того, что ξn отклоняется от ξ больше чем на ε, меньше δ.
   Поэтому для произвольного х справедливы неравенства
                              P{ξn

Страницы