Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

79
Определение 5. Пусть P{ξ<x}=F(x) и P{ξ
n
<x}=F
n
(x). Тогда говорят, что
ξ
n
сходится к ξ по распределению, если
lim ( )
n
n
Fx
→∞
=F(x)
в каждой точке непрерывности F(x). Обозначается это так: ξ
n
F
⎯→⎯ ξ. Эта
сходимость называется также
слабой сходимостью распределений.
Введённые выше типы сходимости имеют своё соответствие в функ-
циональном анализе.
функциональный анализ теория вероятностей
сходимость почти всюду
сходимость по мере
сходимость в пространстве L
2
слабая сходимость
сходимость почти наверное
сходимость по вероятности
сходимость в среднеквадратическом
сходимость по распределению
Рассмотрим теоремы, связывающие различные типы сходимости.
Теорема 1. Из сходимости почти наверное следует сходимость по веро-
ятности.
Доказательство этой теоремы рассматривалось в функциональном
анализе.
Но из сходимости по вероятности не следует сходимость почти навер-
ное.
Теорема 2. Из сходимости в среднеквадратическом следует сходимость
по вероятности.
Доказательство. Для любого В∈В
P{⏐ξ
n
−ξ⏐>ε}=
dP
B
()ω
∫
,
где В={ω: ⏐ξ
n
−ξ⏐>ε}. Так как для ω∈В имеет место соотношение
ξξ
ε
n
−
>1
и, следовательно,
ξξ
ε
n
k
k
−
>1,
то
P(⏐ξ
n
−ξ⏐>ε)= 1⋅≤
−
∫∫
dP dP
n
k
k
ВB
() ()ω
ξξ
ε
ω .
Учитывая, что подынтегральная функция неотрицательна и поэтому при
расширении области интегрирования интеграл может лишь возрасти, по-
лучаем 
    Определение 5. Пусть P{ξε}= ∫ dP(ω ) ,
                                                          B
где В={ω: ⏐ξn−ξ⏐>ε}. Так как для ω∈В имеет место соотношение
                                         ξn − ξ
                                                     >1
                                           ε
и, следовательно,
                                                 k
                                        ξn − ξ
                                                     >1,
                                          εk
то
                                                                    k
                                                           ξn − ξ
                    P(⏐ξn−ξ⏐>ε)= ∫ 1 ⋅ dP(ω) ≤ ∫                        dP(ω) .
                                    B                 В       εk
Учитывая, что подынтегральная функция неотрицательна и поэтому при
расширении области интегрирования интеграл может лишь возрасти, по-
лучаем

                                                                                  79

Страницы