Составители:
Рубрика:
7
7
ψ
ζ
(u)= ψ
ξ
(u)+ ψ
η
(u)=ia
1
u−
σ
1
22
2
u
+ia
2
u−
σ
2
22
2
u
=iu(a
1
+a
2
)−
()σσ
1
2
2
2
2
+
u
2
.
Вероятность попадания нормальной случайной величины ξ в интервал
[x
1
,x
2
] можно вычислить по формуле
P{x
1
≤ξ≤x
2
}=F
ξ
(х
2
)−F
ξ
(х
1
)=Ф(
x
2
−
a
σ
)−Ф(
x
1
− a
σ
).
Если же х
2
=а+3σ, а х
1
=а−3σ, то
P{
а−3σ≤ξ≤ а+3σ}=Ф(3)−Ф(−3)≈0,997.
Эта вероятность настолько мало отличается от единицы, что можно ут-
верждать, что событие ⏐ξ−
а⏐<3σ является практически достоверным, то
есть практически нормальная случайная величина никогда не отклоняется
от своего математического ожидания более чем на 3σ.
Вычислим ещё центральные моменты нормальной случайной величи-
ны. По определению
μ
n
=M{(ξ−а)
n
}=
1
2
2
2
2
σπ
σ
()
()
xe dx
n
x
−
−
−
−∞
∞
∫
a
a
, n=0,1,... .
В результате подстановки
x
−
a
σ
=z получим
μ
n
=
σ
π
n
n
z
ze dz
2
1
2
2
−
−∞
+∞
∫
.
Если n - нечётное, то μ
n
=0 в силу нечётности подынтегральной функции;
если n - чётное (n=2k), то
μ
2k
=
2
2
2
2
1
2
0
2
σ
π
k
k
z
ze dz
−
+∞
∫
.
Делая замену переменной t=
z
2
2
, получим
μ
2k
=
2
2
1
2
2
1
2
0
k
k
k
t
tedt
+
−
−
+∞
∫
σ
π
=
2
2
1
2
2
k
k
+
σ
π
Г(k+
1
2
)=1⋅3⋅...⋅(2k−1) σ
2k
=σ
2k
(2k−1)!!
Отсюда находим
μ
2
=D{ξ}=σ
2
, μ
4
=3σ
4
, μ
6
=15σ
6
и т. д.
Плотность вероятностей двумерного нормального распределения имеет
вид
p
ξη
(x,y)=
1
21
1
21
2
2
2
2
2
2
2
πσ σ
σ
σσ
σ
{}{}
exp
()
()
{}
()()
{}{}
()
{}
{[ ]}
xy r
r
x
x
r
xy
xy
y
y
−
−
−
−
−
−−
+
−
aabb
,
σ12 u 2 σ 22 u 2 ( σ12 + σ 22 ) 2
ψζ(u)= ψξ(u)+ ψη(u)=ia1u− +ia2u− =iu(a1+a2)− u.
2 2 2
Вероятность попадания нормальной случайной величины ξ в интервал
[x1,x2] можно вычислить по формуле
x2 − a x −a
P{x1≤ξ≤x2}=Fξ(х2)−Fξ(х1)=Ф( )−Ф( 1 ).
σ σ
Если же х2=а+3σ, а х1=а−3σ, то
P{а−3σ≤ξ≤ а+3σ}=Ф(3)−Ф(−3)≈0,997.
Эта вероятность настолько мало отличается от единицы, что можно ут-
верждать, что событие ⏐ξ−а⏐<3σ является практически достоверным, то
есть практически нормальная случайная величина никогда не отклоняется
от своего математического ожидания более чем на 3σ.
Вычислим ещё центральные моменты нормальной случайной величи-
ны. По определению
∞ ( x − a)2
1 −
μn=M{(ξ−а)n}= ∫ (x − a) 2σ 2
n
e dx , n=0,1,... .
σ 2π −∞
x−a
В результате подстановки =z получим
σ
+∞ 1
σn − z2
μn= ∫
n
z e 2 dz .
2π −∞
Если n - нечётное, то μn=0 в силу нечётности подынтегральной функции;
если n - чётное (n=2k), то
+∞ 1
2σ 2 k − z2
μ2k= ∫
2k
z e 2 dz .
2π 0
2
z
Делая замену переменной t= , получим
2
1 1
k+ 1 k+
2 2 σ 2 k +∞ k − 2 2 σ 2k 1
μ2k= ∫ t 2 e − t dt = Г(k+ )=1⋅3⋅...⋅(2k−1) σ2k=σ2k(2k−1)!!
2π 0 2π 2
Отсюда находим
μ2=D{ξ}=σ2, μ4=3σ4, μ6=15σ6 и т. д.
Плотность вероятностей двумерного нормального распределения имеет
вид
pξη(x,y)=
1 1 ( x − a) 2 ( x − a)(y − b) (y − b) 2
{
exp − [ − 2r
σ{x}σ{y}
+ 2 ]} ,
2πσ{x}σ{y} 1 − r 2 2(1 − r 2 ) σ 2 {x} σ {y}
77
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
