Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

75
Функция распределения F
ξ
(х) зависит от двух параметров а и σ. Если а=0,
σ=1, то нормальное распределение называется
стандартным. Функция
распределения случайной величины ξ связана с функцией Лапласа таким
образом, что вероятность попадания в интервал [x
1
, x
2
) равна
P{x
1
≤ξ<x
2
}= F
ξ
(х
2
)−F
ξ
(х
1
)=Ф(
x
2
−
a
σ
)−Ф(
x
1
− a
σ
).
Найдём характеристическую функцию случайной величины ξ, распре-
делённой по нормальному закону (в дальнейшем, нормальной случайной
величины). В соответствии с определением (2.9.2)
g
ξ
(u)=
1
2
2
2
2
σπ
σ
edx
iux
x
−
−
−∞
∞
∫
()a
.
Подстановкой
z=
x
−
a
σ
−iuσ
g
ξ
(u) приводится к виду
g
ξ
(u)=
eedz
iu
uz
iu
iu
a −−
−∞−
∞−
∫
σ
σ
σ
π
22 2
22
1
2
.
Используя комплексное интегрирование, окончательно получим
g
ξ
(u)=e
iu
u
a −
σ
22
2
,
ψ
ξ
(u)=ln g
ξ
(u)= iu
u
a −
σ
22
2
.
Математическое ожидание и дисперсию нормальной случайной вели-
чины находим по формулам (2.9.5) и (2.9.6):
ψ
ξ
'
(u)=ia−σ
2
u,
M{ξ}=
1
i
ψ
ξ
'
(0)=a;
ψ
ξ
"
(u)=−σ
2
,
D{ξ}=−
ψ
ξ
"
(0)=σ
2
.
Таким образом, в нормальном распределении,
а есть математическое
ожидание, а σ
2
- его дисперсия. 
Функция распределения Fξ(х) зависит от двух параметров а и σ. Если а=0,
σ=1, то нормальное распределение называется стандартным. Функция
распределения случайной величины ξ связана с функцией Лапласа таким
образом, что вероятность попадания в интервал [x1, x2) равна
                                                                        x2 − a     x −a
               P{x1≤ξ

Страницы