Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 76 стр.

                                                              ( x − a)2
                                                1         −
                            pξ(x)=                    e        2σ2        .                                    (2.10.1)
                                          σ 2π
   Иногда используют обозначение ξ=N(a, σ2) и говорят, что случайная
величина ξ распределена нормально с параметрами a и σ2. Множитель
     1
         выбран так, чтобы удовлетворить условию нормировки
σ 2π
                                     ∞

                                     ∫ p ξ ( x)dx =1.
                                     −∞
    Интеграл от плотности распределения вероятности не выражается че-
рез элементарные функции. Для расчёта вероятностей событий, связанных
со случайными величинами с нормальным распределением, разработаны
таблицы специальной функции
                                                                 2
                                                      x −t
                                                 1
                                 Ф(х)=
                                                 2π
                                                      ∫e 2 dt             ,
                                                      0
называемой функцией Лапласа или интегралом вероятностей. В таблицах
для Ф(х) даются значения только для положительных значений х; значения
Ф(х) для отрицательных значений х вычисляются с помощью свойства не-
чётности этой функции
                             Ф(−х)=−Ф(х).
            Ф(х)
                                      График этой функции приведён на ри-
              1/2                     сунке. Кривая Ф(х) быстро приближает-
                                      ся с ростом х к 0,5:
                                          Функция распределения случайной
                    0            х
                                      величины ξ определяется следующим
             −1/2                     выражением
                                                                                                    2
                                                                                     x − ( z − a)
                                                                               1
                                                                                     ∫
                                                                                               2
                                                          Fξ(х)=                      e 2σ              dz .
                                                                              σ 2π   −∞
Здесь а произвольное, а σ - положительное число. Для того, чтобы убе-
диться в том, что функция Fξ(х) есть функция распределения, достаточно
проверить выполнение свойств 1, 2 и 3 функции распределения. Свойство
3 очевидно, так как Fξ(х) - непрерывная функция. Свойства 1 и 2 следуют
из положительности подынтегральной функции и того, что
                                            2
                             x − ( z − a)

                             ∫
                                       2
                              e 2σ              dz =σ 2π .
                            −∞




74