Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

72
Отличие их от моментов относительно произвольной точки состоит в том,
что все семинварианты (за исключением первого) инвариантны относи-
тельно изменения начала отсчёта. Название “семинварианты” как раз и
обусловлено их инвариантными свойствами.
Свойство 5. Характеристическая функция g
ξ
(u) является равномерно
непрерывной функцией по u.
Доказательство. Рассмотрим разность
g
ξ
(u+h)−g
ξ
(u)= ee dFx
iux ihx
()()−
∫
1
ξ
и оценим её по модулю
⏐g
ξ
(u+h)−g
ξ
(u)⏐≤ edFx
ihx
−
∫
1
ξ
().
Пусть ε>0 - произвольно. Выберем столь большое А, чтобы
dF x
xA
ξ
ε
()<
>
∫
4
,
и подберём столь малое h, чтобы для ⏐х⏐<A
⏐e
ihx
−1⏐<
ε
2
.
Тогда
⏐g
ξ
(u+h)−g
ξ
(u)⏐≤
edFx dFx
ihx
xAA
A
−+
≥−
∫∫
12
ξξ
() ()
≤ε.
Поскольку h не зависит от u, то это и доказывает равномерную непрерыв-
ность g
ξ
(u).
Рассмотренные выше свойства характеристической функции наиболее
часто используются при решении прикладных задач.
Отметим, что для многомерных случайных величин ξ=(ξ
1
, ξ
2
,...,ξ
n
) ха-
рактеристическая функция принимает вид:
g
ξ
(u
1
, u
2
,... u
n
)=M{e
iu u u
nn
( ... )
11 2 2
ξξ ξ+++
}.
Подводя итог, можно отметить, что характеристическая функция и
функция распределения случайной величины ξ связаны между собой вза-
имно однозначно. Кроме того, находить моменты случайной величины с
помощью характеристической функции даже проще, чем при помощи
функции распределения. Поэтому вероятностная задача считается решён-
ной до конца, если ответ получен в виде характеристической
функции. Это
тем более важно, если функцию распределения или плотность распределе-
ния вероятностей найти в аналитическом виде не удаётся.
Особенно удобно использовать аппарат характеристических функций
при решении задач, связанных с суммированием случайных величин. В 
Отличие их от моментов относительно произвольной точки состоит в том,
что все семинварианты (за исключением первого) инвариантны относи-
тельно изменения начала отсчёта. Название “семинварианты” как раз и
обусловлено их инвариантными свойствами.
   Свойство 5. Характеристическая функция gξ(u) является равномерно
непрерывной функцией по u.
   Доказательство. Рассмотрим разность
                     gξ(u+h)−gξ(u)= ∫ e iux (e ihx − 1)dF ξ (x)
и оценим её по модулю
                    ⏐gξ(u+h)−gξ(u)⏐≤            ∫e
                                                      ihx
                                                            − 1dF ξ (x) .
Пусть ε>0 - произвольно. Выберем столь большое А, чтобы
                                                      ε
                                  ∫     dF ξ ( x) <
                                                      4
                                                        ,
                                 x >A

и подберём столь малое h, чтобы для ⏐х⏐

Страницы