Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

71
и существует М{⏐ξ
к
⏐}, то
ixedFx xdFx
kkiux k
ξξ
() ()
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
≤
= М{⏐ξ
к
⏐}<∞,
и интеграл
ixe dF x
kkiux
ξ
()
−∞
∞
∫
сходится равномерно относительно u. Поэтому
можно дифференцировать по u под знаком интеграла
gu ixedFx
k
kkiux
ξ
ξ
()
() ()=
−∞
∞
∫
;
gixdFxiM
k
kk k k
ξ
ξ
ξ
()
() () { }0 ==
−∞
∞
∫
.
Отсюда получается выражение для начальных моментов
m
k
=
1
0
i
g
k
k
ξ
()
()
.
Математическое ожидание и дисперсию удобно выражать не через
g
ξ
(u), а через ψ
ξ
(u).
Если
ψ
ξ
ξ
ξ
'
'
(
(
(
u)
gu)
gu)
= , то, принимая во внимание, что g
ξ
(0)=1, и равенство
(2.9.3), получаем
ψ
ξ
'
(0)=
g
ξ
'
()0
=i⋅m
1
.
Если
ψ
ξ
ξξ ξ
ξ
"
"
()
() () (
'
())
()
u
gugu gu
gu
=
−
2
2
, то
ψ
ξ
"
()0 =gg g
ξξ ξ
"
() () (
'
())00 0
2
− =i
2
M{ξ
2
}−(iM{ξ})
2
=
=i
2
(m
2
−m
1
2
)=−1⋅D{ξ}=−D{ξ}.
Итак, получено, что
M{ξ}=m
1
=
1
0
i
ψ
ξ
'
(); (2.9.5)
D{ξ}=
1
0
2
i
ψ
ξ
"
()=- ψ
"
()0 . (2.9.6)
Производная k-го порядка логарифма характеристической функции в
точке 0, умноженная на 1/i
k
, называется семинвариантом k-го порядка
случайной величины и обычно обозначается через ж
k
ж
k
=
1
0
i
k
k
ψ
ξ
()
()
. 
и существует М{⏐ξк⏐}, то
                            ∞                                  ∞

                            ∫i
                                 k k iux
                                  x e      dF ξ ( x) ≤         ∫x
                                                                        k
                                                                            dF ξ ( x) = М{⏐ξк⏐}<∞,
                         −∞                                    −∞
              ∞

               ∫i
                    k
и интеграл              x k e iuxdF ξ ( x) сходится равномерно относительно u. Поэтому
              −∞
можно дифференцировать по u под знаком интеграла
                                                                    ∞
                                             g(ξk ) ( u)   =        ∫i
                                                                            k k iux
                                                                             x e       dF ξ ( x) ;
                                                                   −∞
                                                                         ∞
                                             g (ξk ) (0)                 ∫x
                                                                    k          k
                                                           =i                      dF ξ (x) = i k M {ξ k } .
                                                                        −∞
Отсюда получается выражение для начальных моментов
                                                                   1 ( k)
                                                    mk=              g (0) .
                                                                   ik ξ
    Математическое ожидание и дисперсию удобно выражать не через
gξ(u), а через ψξ(u).
                            g 'ξ (u)
   Если   ψ 'ξ (u)      =              , то, принимая во внимание, что gξ(0)=1, и равенство
                            g ξ (u)
(2.9.3), получаем
                                                ψ 'ξ (0)= g 'ξ (0) =i⋅m1.
                            g "ξ ( u)g ξ ( u) − (g 'ξ ( u)) 2
   Если   ψ "ξ ( u)     =                                               , то
                                        g 2ξ ( u)
                      ψ "ξ (0) = g "ξ (0)g ξ (0) − (g 'ξ (0)) 2 =i2M{ξ2}−(iM{ξ})2=
             =i2(m2− m12 )=−1⋅D{ξ}=−D{ξ}.
Итак, получено, что
                                                                        1
                                            M{ξ}=m1= ψ 'ξ (0) ;                                                (2.9.5)
                                                                        i
                                                           1
                                            D{ξ}=              2
                                                                   ψ "ξ (0) =- ψ " (0) .                       (2.9.6)
                                                           i
   Производная k-го порядка логарифма характеристической функции в
точке 0, умноженная на 1/ik, называется семинвариантом k-го порядка
случайной величины и обычно обозначается через жk
                                                                        1
                                                      жk =              k
                                                                             ψ (ξk ) (0) .
                                                                    i



                                                                                                                   71

Страницы