Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 71 стр.

как двумерную случайную величину, каждая компонента которой ξ1 и ξ2
является действительной случайной величиной.
   Характеристической функцией gξ(u) вещественной случайной величи-
ны ξ называется комплекснозначная функция
                                                    ∞
                                            iuξ
                           gξ(u)=M{e }= ∫ e iux dFξ ( x) ,
                                                    −∞
где u - действительное число.
    Если ξ - дискретная случайная величина, то
                                              n
                                 gξ(u)= ∑ e iuxk p k .                                        (2.9.1)
                                             k =1
   Если ξ - непрерывная случайная величина, то
                                       +∞
                              gξ(u)= ∫ e iux p ξ (х)dx .                                      (2.9.2)
                                       −∞
    Выполняемая согласно (2.9.2) операция с плотностью вероятностей
pξ(х), в результате чего получается функция gξ(u), называется преобразова-
нием Фурье функции pξ(х).
    Функция распределения Fξ(x) однозначно определяет gξ(u), и наоборот
- gξ(u) однозначно определяет функцию распределения Fξ(x). Это соответ-
ствие даётся так называемой формулой обращения: для любых точек не-
прерывности x и y функции Fξ(x) имеет место соотношение
                                        A − iux
                                1          e    − e − iuy
                  Fξ(y)−Fξ(x)=
                               2π Alim  ∫
                                    →∞ − A      iu
                                                          g ξ ( u)du .

   В частности, если ξ - непрерывная случайная величина, то
                                     1 ∞ − iux
                             pξ(x)=     ∫ e g ξ ( u)du .
                                    2π −∞
Этот интеграл называется обратным преобразованием Фурье.
   Характеристическая функция является незаменимым аппаратом для
решения самых различных вероятностных задач, особенно тех из них, ко-
торые связаны с суммированием независимых случайных величин.
   Функцию ψξ(u)=ln gξ(u) иногда называют кумулянтой.
   Рассмотрим некоторые свойства характеристических функций.
   Свойство 1. Для любой случайной величины ξ
                            gξ(0)=1 и ⏐gξ(u)⏐≤1,
для всех u.
                                 ∞                       ∞                      ∞
   Доказательство. ⏐gξ(u)⏐= ∫ e dF ξ (x) ≤
                                      iux
                                                         ∫e
                                                              iux
                                                                    dF ξ (x) = ∫ 1 dF ξ (x) = 1 ,
                                 −∞                      −∞                    −∞


                                                                                                    69