Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

70
поскольку ⏐e
iux
⏐=1.
g
ξ
(0)= 11
−∞
∞
∫
=dF x
ξ
() .
Свойство 2. Если η=aξ+b, то g
η
(u)=e
ibu
g
ξ
(au),
ψ
η
(u)=ibu+ψ
ξ
(au).
Доказательство. g
η
(u)=M{e
iηu
}= M{e
iaξu+ibu
}= e
ibu
M{e
iaξu
}= e
ibu
g
ξ
(au).
ψ
η
(u)=ln e
ibu
g
ξ
(au)=ibu+ψ
ξ
(au).
Свойство 3. Если ζ=ξ+η и ξ и η - независимы, то g
ζ
(u)=g
ξ
(u)⋅g
η
(u),
ψ
ζ
(u)=ψ
ξ
(u)+ψ
η
(u).
Доказательство. Заметим, что из независимости случайных величин
следует независимость функций от этих величин. Принимая это утвержде-
ние без доказательства и на основании свойства 3 математического ожида-
ния, получаем
g
ξ
(u)=M{e
iξu
}=M{e
iξu+iηu
}= M{e
iξu
}M{e
iηu
}=g
ξ
(u) g
η
(u).
ψ
ζ
(u)=ln(g
ξ
(u) g
η
(u))=ψ
ξ
(u)+ψ
η
(u).
Свойство 4. Если существует k-й начальный момент М{⏐ξ
к
⏐}<∞, k≥1,
то существует непрерывная k-я производная характеристической функции
g
ξ
(u) и
giM
k
kk
ξ
ξ
()
() { }0 = (2.9.3)
Доказательство. Формально дифференцируя под знаком интеграла,
получаем
gu ixe dFx
iux
ξξ
'
() ()=
−∞
∞
∫
. (2.9.4)
Поскольку
ixedFx xdFx
iux
ξξ
() ()
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
≤
=M{⏐ξ⏐}<∞,
то (2.9.4) сходится равномерно относительно u. Поэтому возможно по-
членное дифференцирование под знаком интеграла:
gu ixe dFx
iux
ξξ
'
() ()=
−∞
∞
∫
,
gixdFx
ξξ
'
() ()0 =
−∞
∞
∫
=iM{ξ}.
Дальнейшие рассуждения проводятся по индукции. Если существует
guixedFx
k
kkiux
ξ
ξ
()
() ()
−
−−
−∞
∞
=
∫
1
11
поскольку ⏐eiux⏐=1.
                                                   ∞
                                     gξ(0)=        ∫ 1 dF ξ (x) = 1.
                                                  −∞

     Свойство 2. Если η=aξ+b, то gη(u)=eibu gξ(au),
                              ψη(u)=ibu+ψξ(au).
    Доказательство. gη(u)=M{eiηu}= M{eiaξu+ibu}= eibuM{eiaξu}= eibugξ(au).
                      ψη(u)=ln eibugξ(au)=ibu+ψξ(au).
    Свойство 3. Если ζ=ξ+η и ξ и η - независимы, то gζ(u)=gξ(u)⋅gη(u),
ψζ(u)=ψξ(u)+ψη(u).
    Доказательство. Заметим, что из независимости случайных величин
следует независимость функций от этих величин. Принимая это утвержде-
ние без доказательства и на основании свойства 3 математического ожида-
ния, получаем
            gξ(u)=M{eiξu}=M{eiξu+iηu}= M{eiξu}M{eiηu}=gξ(u) gη(u).
                      ψζ(u)=ln(gξ(u) gη(u))=ψξ(u)+ψη(u).
    Свойство 4. Если существует k-й начальный момент М{⏐ξк⏐}<∞, k≥1,
то существует непрерывная k-я производная характеристической функции
gξ(u) и
                                        g(ξk ) (0) = i k M {ξ k }                     (2.9.3)
   Доказательство. Формально дифференцируя под знаком интеграла,
получаем
                                                       ∞
                                       g 'ξ ( u) =     ∫ ixe
                                                               iux
                                                                     dF ξ ( x) .      (2.9.4)
                                                       −∞
Поскольку
                    ∞                             ∞

                    ∫ ixe                         ∫ xdF ξ ( x) =M{⏐ξ⏐}<∞,
                            iux
                                  dF ξ ( x) ≤
                    −∞                            −∞
то (2.9.4) сходится равномерно относительно u. Поэтому возможно по-
членное дифференцирование под знаком интеграла:
                                                       ∞
                                      g 'ξ ( u)   = i ∫ xe iuxdF ξ ( x) ,
                                                       −∞
                                                       ∞
                                      g 'ξ (0) = i ∫ xdF ξ (x) =iM{ξ}.
                                                       −∞
Дальнейшие рассуждения проводятся по индукции. Если существует
                                                                ∞
                                      g(ξk −1) ( u) = i k −1 ∫ x k −1e iuxdF ξ ( x)
                                                               −∞


70

Страницы