Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 70 стр.

                                                          π         π
                          ∞ ∞                             2         2
                        1                          1                       π
              M {ξ} =      ∫  ∫
                        2 −∞ −∞
                                x sin( x + y)dxdy = ∫ xdx ∫ sin( x + y)dy = ,
                                                   20                      4
                                                          0
                                                          π         π
                          ∞ ∞                             2         2
                        1                          1                       π
              M {η} =      ∫  ∫
                        2 −∞ −∞
                                y sin( x + y)dxdy = ∫ ydy ∫ sin( x + y)dx = .
                                                   20                      4
                                                          0
По формуле (2.5.5) находим M{ξ⋅η}

                                          ππ
                                          22
                                   1                        π
                        M{ξ⋅η}=      ∫
                                   200 ∫ xy sin(x + y)dxdy = − 1 .
                                                            2
Значение ковариации вычисляем по формуле (2.8.1)
                                     π           π 2 8π − 16 − π 2
                        cov(ξ, η)= − 1 −            =              .
                                     2           16       16
    Пример 2. Дана корреляционная матрица системы случайных величин
(ξ1, ξ2, ξ3)
                                                16 -14        12
                                  k ij = −14          49 - 21 .
                                                12 - 21 36
Составить нормированную корреляционную матрицу rij .
     Решение. По формуле (2.8.2) находим коэффициент корреляции
                                                   k ij
                                    rij=                        .
                                               D{ξ i }D{ξ j }
   Учитывая, что rij=rji, а rij=1 для i=j, вычислим r12=-0,5, r13=0,5, r23=-0,5.
Следовательно,
                                              1 - 0,5 0,5
                                   r ij   = −0,5 1 - 0,5 .
                                             0,5 - 0,5 1

                   § 9. Характеристическая функция

   Одним из основных аналитических методов теории вероятностей явля-
ется метод, связанный с использованием характеристической функции.
    Заметим прежде всего, что наряду со случайными величинами, прини-
мающими действительные значения, аппарат характеристических функций
связан с привлечением комплекснозначных случайных величин. Под этим
понимается случайная величина ξ=ξ1+iξ2, которую можно рассматривать

68