Составители:
Рубрика:
68
M x x y dxdy xdx x y dy{} sin( ) sin( )ξ
π
ππ
=+= +=
−∞
∞
−∞
∞
∫∫∫∫
1
2
1
24
0
2
0
2
,
M y x y dxdy ydy x y dx{} sin( ) sin( )η
π
ππ
=+= +=
−∞
∞
−∞
∞
∫∫∫∫
1
2
1
24
0
2
0
2
.
По формуле (2.5.5) находим M{ξ⋅η}
M{ξ⋅η}=
1
22
1
0
2
0
2
xy x y dxdysin( )+=−
∫∫
ππ
π
.
Значение ковариации вычисляем по формуле (2.8.1)
cov(ξ, η)=
πππ π
2
1
16
816
16
22
−− =
−−
.
Пример 2. Дана корреляционная матрица системы случайных величин
(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
)
k
ij
=−
-14 12
49 - 21
12 - 21 36
16
14 .
Составить нормированную корреляционную матрицу
r
ij
.
Решение. По формуле (2.8.2) находим коэффициент корреляции
r
ij
=
k
DD
ij
ij
{}{}ξξ
.
Учитывая, что r
ij
=r
ji
, а r
ij
=1 для i=j, вычислим r
12
=-0,5, r
13
=0,5, r
23
=-0,5.
Следовательно,
r
ij
=−
1 - 0,5 0,5
1 - 0,5
0,5 - 0,5 1
05,
.
§ 9. Характеристическая функция
Одним из основных аналитических методов теории вероятностей явля-
ется метод, связанный с использованием характеристической функции.
Заметим прежде всего, что наряду со случайными величинами, прини-
мающими действительные значения, аппарат характеристических функций
связан с привлечением комплекснозначных случайных величин. Под этим
понимается случайная величина ξ=ξ
1
+iξ
2
, которую можно рассматривать
π π ∞ ∞ 2 2 1 1 π M {ξ} = ∫ ∫ 2 −∞ −∞ x sin( x + y)dxdy = ∫ xdx ∫ sin( x + y)dy = , 20 4 0 π π ∞ ∞ 2 2 1 1 π M {η} = ∫ ∫ 2 −∞ −∞ y sin( x + y)dxdy = ∫ ydy ∫ sin( x + y)dx = . 20 4 0 По формуле (2.5.5) находим M{ξ⋅η} ππ 22 1 π M{ξ⋅η}= ∫ 200 ∫ xy sin(x + y)dxdy = − 1 . 2 Значение ковариации вычисляем по формуле (2.8.1) π π 2 8π − 16 − π 2 cov(ξ, η)= − 1 − = . 2 16 16 Пример 2. Дана корреляционная матрица системы случайных величин (ξ1, ξ2, ξ3) 16 -14 12 k ij = −14 49 - 21 . 12 - 21 36 Составить нормированную корреляционную матрицу rij . Решение. По формуле (2.8.2) находим коэффициент корреляции k ij rij= . D{ξ i }D{ξ j } Учитывая, что rij=rji, а rij=1 для i=j, вычислим r12=-0,5, r13=0,5, r23=-0,5. Следовательно, 1 - 0,5 0,5 r ij = −0,5 1 - 0,5 . 0,5 - 0,5 1 § 9. Характеристическая функция Одним из основных аналитических методов теории вероятностей явля- ется метод, связанный с использованием характеристической функции. Заметим прежде всего, что наряду со случайными величинами, прини- мающими действительные значения, аппарат характеристических функций связан с привлечением комплекснозначных случайных величин. Под этим понимается случайная величина ξ=ξ1+iξ2, которую можно рассматривать 68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »