Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 68 стр.

                                ξ − M{ξ}       η − M{η}
                    2−2r=M{ (              −              ) 2 }=0.
                                   D{ξ}          D{η}
Но выражение, стоящее под знаком математического ожидания, не отрица-
тельно. Интеграл Лебега от неотрицательной функции может быть равен
нулю лишь тогда, когда подинтегральная функция равна нулю почти всю-
ду относительно меры P(ω). Поэтому с вероятностью 1
                         ξ − M{ξ}       η − M{η}
                                    −              =0,
                            D{ξ}          D{η}
или
                         D{η}             D{η}
                   η=ξ        +(M{η}−M{ξ}      ),
                         D{ξ}             D{ξ}
где
                       D{η}                              D{η}
                  a=        ,   b= M{η}−M{ξ}                  .
                       D{ξ}                              D{ξ}
Аналогично рассматривается случай r=−1.
    Свойство 4. Если случайные величины ξ и η независимы, то коэффи-
циент корреляции равен нулю.
    Доказательство этого свойства следует из соотношения (2.6.8).
    Следует отметить, что для случайных величин ξ и η , связанных нели-
нейной зависимостью, коэффициент корреляции может быть равен нулю.
Например, пусть M{ξ}=0, M{ξ3}=0 и η=ξ2. Тогда
                 cov(ξ, η)=M{ξ(ξ2−M{ξ2})}=M{ξ3}−M{ξ}M{ξ2}=0,
поэтому r=0.
    Объединяя все эти свойства, можно так охарактеризовать коэффициент
корреляции. Коэффициент корреляции действительно является мерой за-
висимости двух случайных величин, но описывает лишь линейную зави-
симость. Чем больше коэффициент корреляции отличается от нуля, тем
сильнее зависимость между ξ и η приближается к линейной. Равенство ну-
лю коэффициента корреляции - необходимое, но не достаточное условие
независимости случайных величин, оно означает отсутствие лишь линей-
ной зависимости. Нелинейная зависимость при этом может быть и доста-
точно сильной.
    При равенстве нулю коэффициента корреляции случайные величины ξ
и η называют некоррелированными.
    В случае если r>0 корреляция называется положительной и означает,
что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию
возрастать по линейному закону. Если r<0, то корреляция называется от-



66