Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 66 стр.

               ∞                          ∞               ∞

               ∫ M {ξ / y}p η (y)dy = ∫ p η (y)dy ∫ xp(x / y)dx =
              −∞                          −∞            −∞
                   ∞ ∞                              ∞ ∞
              =    ∫ ∫ xp(x / y) p η (y)dxdy = ∫ ∫ xp ξη (x, y)dxdy =
                   −∞ −∞                            −∞ −∞
                   ∞       ∞                   ∞
              =    ∫ xdx ∫ p ξη (x, y)dy = ∫ xp ξ (x)dx = M {ξ} .
                   −∞      −∞                  −∞
Вторая формула доказывается аналогично.
   Существуют также понятия условных дисперсий
                                      ∞
                           D{ξ/y}= ∫ (x − M{ξ / y}) 2 p(x / y)dx ;
                                     −∞
                                      ∞
                           D{η/x}= ∫ ( y − M{η / x}) 2 p( y / x)dy ,
                                     −∞
которые показывают, насколько сильно отдельные значения случайной ве-
личины могут отклоняться от кривых регрессии.
    Одной из характеристик взаимосвязи случайных величин является ко-
вариация случайных величин.
    Ковариацией случайных величин ξ и η называется величина, равная ма-
тематическому ожиданию произведения отклонений случайных величин ξ
и η от своих математических ожиданий
                        cov (ξ, η)=M{(ξ−M{ξ})(η−M{η})}.
Если ξ и η - зависимые случайные величины, то, возвращаясь к соотноше-
нию (2.6.7), можно констатировать, что третий его член в таком случае не
будет равен нулю. Тогда дисперсия суммы случайных величин будет иметь
вид
                       D{ξ+η}= D{ξ}+D{η}+2cov(ξ, η),
а дисперсия разности
                       D{ξ−η}= D{ξ}+D{η}−2cov(ξ, η).
    Из свойств математического ожидания следуют очевидные свойства
ковариации
    1. cov (ξ, η)= cov (η,ξ);
    2. cov (ξ, ξ)=D{ξ};
    3. cov (cξ, η)=c cov (ξ, η), где с-const;
    4. cov (ξ, η)=M{ξ⋅η}−M{ξ}⋅M{η}.                              (2.8.1)
    У всех случайных величин, рассматриваемых ниже, предполагается
существование ненулевой дисперсии.



64