Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 65 стр.

                                       ∞
                           M{ξ/y}= ∫ xp ( x / y)dx .
                                       −∞
Условное математическое ожидание M{ξ/y} есть функция от y, которая
называется регрессией случайной величины ξ от случайной величины η,
или функцией регрессии; обозначается как
                             f(y)= M{ξ/y}.
Уравнение х= f(y) называется уравнением регрессии - линией или кривой
регрессии ξ от η.
   Аналогично вводится понятие условного математического ожидания
случайной величины η при условии, что случайная величина ξ приняла
значение х:
                                        ∞
                            M{η/х}= ∫ ydF ( y / x) ;
                                        −∞
                                         ∞
                            M{η/х}= ∫ yp ( y / x)dy .
                                        −∞
Функция регрессии случайной величины η от случайной величины ξ будет
иметь вид
                             g(x)= M{η/х},
а кривая регрессии η от ξ
                                 y=g(x).
    Кривые регрессии показывают, как в среднем изменяется одна величи-
на при изменении другой, то есть некоторую зависимость, освобождённую
от случайностей.
    Обе кривые регрессии y=g(x) и х=f(y), вообще говоря, не совпадают
между собой, т. е. функции регрессии f(y) и g(x) не являются взаимно об-
ратными.
    Существуют формулы, связывающие математическое ожидание с ус-
ловным математическим ожиданием
                                  ∞
                          М{ξ}= ∫ M {ξ / y) p η (y)dy ;
                                  −∞
                                   ∞
                         M{η}= ∫ M {η / x) p ξ (x)dx .
                                  −∞
Докажем первую из них




                                                                      63