Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

61
μ
k
= ()()xm pxdx
k
−
−∞
∞
∫
1
. (2.7.4)
Величина μ
k
=M{⏐ξ−M{ξ}⏐
k
} называется абсолютным моментом k-го
порядка
.
Между начальными и центральными моментами существуют связы-
вающие их соотношения. Например, раскрывая
(ξ−m
1
)
2
=ξ
2
−2m
1
ξ+ m
1
2
;
(ξ−m
1
)
3
=ξ
3
−3m
1
ξ
2
+3 m
1
2
ξ−m
1
3
;
(ξ−m
1
)
4
=ξ
4
−4m
1
ξ
3
+6 m
1
2
ξ
2
−4 m
1
3
ξ+ m
1
4
,
получим
μ
2
=M{ξ
2
−2m
1
ξ+ m
1
2
}=m
2
−m
1
2
;
μ
3
=M{ξ
3
−3m
1
ξ
2
+3 m
1
2
ξ−m
1
3
}=m
3
−3m
2
m
1
+2 m
1
3
;
μ
4
=M{ξ
4
−4m
1
ξ
3
+6 m
1
2
ξ
2
−4 m
1
3
ξ+ m
1
4
}=m
4
−4m
1
m
3
+6 m
2
m
1
2
−3 m
1
4
и т. д. Аналогично, для начальных моментов
ξ
2
=[(ξ−m
1
)+m
1
]
2
=(ξ−m
1
)
2
+2(ξ−m
1
)m
1
+ m
1
2
;
ξ
3
=[(ξ−m
1
)+m
1
]
3
=(ξ−m
1
)
3
+3(ξ−m
1
)
2
m
1
+3(ξ−m
1
) m
1
2
+ m
1
3
;
ξ
4
=[(ξ−m
1
)+m
1
]
4
=(ξ−m
1
)
4
+4(ξ−m
1
)
3
m
1
+6(ξ−m
1
)
2
m
1
2
+4(ξ−m
1
) m
1
3
+
m
1
4
получим m
2
=μ
2
+ m
1
2
;
m
3
=μ
3
+3μ
2
m
1
+ m
1
3
;
m
3
=μ
4
+4μ
3
m
1
+6μ
2
m
1
2
+ m
1
4
и т. д.
В большинстве теоретических исследований и на практике моменты
порядка выше четвёртого не используются.
Моменты порядков выше второго служат для более подробного описа-
ния распределения случайной величины.
Например, с центральным моментом третьего порядка μ
3
связан коэф-
фициент асимметрии Аs, характеризующий асимметрию (или “скошен-
ность”) распределения. Если распределение симметрично относительно
математического ожидания (в механической интерпретации, масса распре-
делена симметрично относительно центра тяжести), то все центральные
моменты нечётного порядка, если они существуют, равны нулю. Действи-
тельно, в формуле (2.7.3) при симметричном относительно m
1
законе рас-
пределения и нечётном k каждому положительному слагаемому соответст-
вует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что
вся сумма равна нулю. То же, очевидно, справедливо и для интеграла 
                                    ∞
                             μk= ∫ ( x − m1 ) k p( x)dx .            (2.7.4)
                                    −∞
                                k
   Величина μk=M{⏐ξ−M{ξ}⏐ } называется абсолютным моментом k-го
порядка.
   Между начальными и центральными моментами существуют связы-
вающие их соотношения. Например, раскрывая
       (ξ−m1)2=ξ2−2m1ξ+ m12 ;
        (ξ−m1)3=ξ3−3m1ξ2+3 m12 ξ− m13 ;
       (ξ−m1)4=ξ4−4m1ξ3+6 m12 ξ2−4 m13 ξ+ m14 ,
получим
       μ2=M{ξ2−2m1ξ+ m12 }=m2− m12 ;
        μ3=M{ξ3−3m1ξ2+3 m12 ξ− m13 }=m3−3m2 m1 +2 m13 ;
         μ4=M{ξ4−4m1ξ3+6 m12 ξ2−4 m13 ξ+ m14 }=m4−4m1m3+6 m2 m12 −3 m14
и т. д. Аналогично, для начальных моментов
         ξ2=[(ξ−m1)+m1]2=(ξ−m1)2+2(ξ−m1)m1+ m12 ;
        ξ3=[(ξ−m1)+m1]3=(ξ−m1)3+3(ξ−m1)2m1+3(ξ−m1) m12 + m13 ;
       ξ4=[(ξ−m1)+m1]4=(ξ−m1)4+4(ξ−m1)3m1+6(ξ−m1)2 m12 +4(ξ−m1) m13 +
       m14
получим m2=μ2+ m12 ;
          m3=μ3+3μ2m1+ m13 ;
          m3=μ4+4μ3m1+6μ2 m12 + m14
и т. д.
    В большинстве теоретических исследований и на практике моменты
порядка выше четвёртого не используются.
    Моменты порядков выше второго служат для более подробного описа-
ния распределения случайной величины.
    Например, с центральным моментом третьего порядка μ3 связан коэф-
фициент асимметрии Аs, характеризующий асимметрию (или “скошен-
ность”) распределения. Если распределение симметрично относительно
математического ожидания (в механической интерпретации, масса распре-
делена симметрично относительно центра тяжести), то все центральные
моменты нечётного порядка, если они существуют, равны нулю. Действи-
тельно, в формуле (2.7.3) при симметричном относительно m1 законе рас-
пределения и нечётном k каждому положительному слагаемому соответст-
вует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что
вся сумма равна нулю. То же, очевидно, справедливо и для интеграла

                                                                          61

Страницы