Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

60
§7. Моменты
Математическое ожидание случайной величины можно назвать её
средним значением, в физическом смысле оно определяет центр тяжести
фигуры между графиком плотности распределения и осью абсцисс; дис-
персия характеризует разброс случайной величины относительно её сред-
него значения; мода и медиана характеризуют положение случайной вели-
чины. Кроме этих величин, для более детальной характеристики
случайной
величины вводятся моменты случайной величины различных порядков,
начальные и центральные.
Начальным моментом случайной величины ξ порядка k называется
число
m
k
=M{ξ
k
}= xdF x
k
ξ
()
−∞
∞
∫
. (2.7.1)
При k=1 получаем m
1
=M{ξ}, т. е. математическое ожидание случайной ве-
личины ξ есть начальный момент первого порядка.
Из определения математического ожидания случайной величины сле-
дует, что начальный момент k-го порядка (2.7.1) определяется:
для дискретной случайной величины равенством
m
k
= xp
i
k
i
i
=
∞
∑
1
,
а для непрерывной случайной величины равенством
m
k
= xpxdx
k
()
−∞
∞
∫
.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины ξ называ-
ется величина
μ
k
=M{(ξ−M{ξ})
k
}= M{(ξ−m
1
)
k
}= ()()xm dFx
k
−
−∞
∞
∫
1 ξ
. (2.7.2)
Отсюда следует, что μ
0
=M{1}=1, μ
1
= M{ξ−M{ξ}}= M{ξ}−M{ξ}=0,
μ
2
=M{(ξ−M{ξ})
2
}=D{ξ}, т. е. второй центральный момент случайной ве-
личины ξ есть дисперсия ξ.
Из определения математического ожидания случайной величины сле-
дует, что центральный момент k-го порядка (2.7.2) для дискретной случай-
ной величины определяется равенством
μ
k
= ()xmp
i
k
i
i
−
=
∞
∑
1
1
, (2.7.3)
а для непрерывной случайной величины - равенством 
                              §7. Моменты

   Математическое ожидание случайной величины можно назвать её
средним значением, в физическом смысле оно определяет центр тяжести
фигуры между графиком плотности распределения и осью абсцисс; дис-
персия характеризует разброс случайной величины относительно её сред-
него значения; мода и медиана характеризуют положение случайной вели-
чины. Кроме этих величин, для более детальной характеристики случайной
величины вводятся моменты случайной величины различных порядков,
начальные и центральные.
   Начальным моментом случайной величины ξ порядка k называется
число
                                                   ∞
                           mk=M{ξk}= ∫ x k dFξ ( x) .                  (2.7.1)
                                                −∞
При k=1 получаем m1=M{ξ}, т. е. математическое ожидание случайной ве-
личины ξ есть начальный момент первого порядка.
   Из определения математического ожидания случайной величины сле-
дует, что начальный момент k-го порядка (2.7.1) определяется:
   для дискретной случайной величины равенством
                                               ∞
                                   mk= ∑ x ki p i ,
                                              i =1
а для непрерывной случайной величины равенством
                                          ∞
                                 mk= ∫ x k p( x)dx .
                                          −∞
   Центральным моментом k-го порядка случайной величины ξ называ-
ется величина
                                                       ∞
             μk=M{(ξ−M{ξ})k}= M{(ξ−m1)k}= ∫ ( x − m1 ) k dF ξ ( x) .   (2.7.2)
                                                       −∞
 Отсюда следует, что μ0=M{1}=1, μ1= M{ξ−M{ξ}}= M{ξ}−M{ξ}=0,
μ2=M{(ξ−M{ξ})2}=D{ξ}, т. е. второй центральный момент случайной ве-
личины ξ есть дисперсия ξ.
   Из определения математического ожидания случайной величины сле-
дует, что центральный момент k-го порядка (2.7.2) для дискретной случай-
ной величины определяется равенством
                                   ∞
                              μk= ∑ ( x i − m1 ) k p i ,               (2.7.3)
                                   i =1
а для непрерывной случайной величины - равенством


60

Страницы