Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

59
M{ξ}= xp
ii
i
=
∑
1
4
≈2,2 сн.
b) По формулам (2.6.4) и (2.6.1) находим D{
ξ} и σ{ξ}
D{
ξ}= ({})xM p
ii
i
−
=
∑
ξ
2
1
4
≈1,38 сн.
2
σ{ξ}= D{ }ξ ≈1,17 сн.
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины ξ, функция распреде-
ления которой
F xx=≤≤
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
−
0
1
3
4
1
4
23
,
,
,
при х <0;
при 0 х 2;
при х >2
Решение. В соответствии с определением (2.2.5) находим плотность ве-
роятностей
p(x)=F′(x)=
0
3
2
3
4
2
,
,
при x<0, x>2;
при x2 .
0 x x−≤≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Далее по формуле (2.5.2)
М{ξ}=
xp x dx x x x dx() ( )=− =
∫∫
−∞
∞
3
2
3
4
2
0
2
1;
М{ξ
2
}= xpxdx x x x dx
222
0
2
3
2
3
4
6
5
() ( )=−=
∫∫
−∞
∞
.
По формуле (2.6.5) искомая дисперсия
D{ξ}
=−=MM{} {}ξξ
22
6
5
1
5
1−= .
Пример 3. Найти моду и медиану случайной величины ξ, если плот-
ность вероятностей её
px
x
()
,
=
≤
≤
⎧
⎨
⎩
3
0
2
при 0< x 1 ;
, при x0 , x>1 .
Решение. Поскольку max p(x)=3, при х=1, то М{ξ}=1. Для нахождения
медианы Ме{ξ} решим уравнение F(x)
== =
−∞
∫∫
ptdt t dt
xx
() ,
1
2
3
1
2
2
0
т . е . . От-
сюда Ме{ξ}=
1
2
3
. 
                                                4
                                      M{ξ}= ∑ x i p i ≈2,2 сн.
                                               i =1
   b) По формулам (2.6.4) и (2.6.1) находим D{ξ} и σ{ξ}
                                        4
                          D{ξ}= ∑ ( x i − M{ξ}) 2 p i ≈1,38 сн. 2
                                       i =1
                           σ{ξ}= D{ξ} ≈1,17 сн.
   Пример 2. Найти дисперсию случайной величины ξ, функция распреде-
ления которой
                           ⎧0, при х < 0;
                           ⎪⎪ 3        1
                       F = ⎨ x 2 − x 3 , при 0 ≤ х ≤ 2;
                            ⎪4         4
                            ⎪⎩1, при х > 2
   Решение. В соответствии с определением (2.2.5) находим плотность ве-
роятностей
                                 ⎧0, при x < 0, x > 2;
                                 ⎪
                   p(x)=F′(x)= ⎨ 3        3 2
                                 ⎪⎩ 2 x − 4 x , при 0 ≤ x ≤ 2 .
Далее по формуле (2.5.2)
                                ∞                   2
                                                          3       3
                        М{ξ}=    ∫    xp( x)dx = ∫ x( x − x 2 )dx = 1 ;
                                                          2       4
                             −∞                     0
                             ∞                      2
                                                              3       3       6
                    М{ξ2}=   ∫       x 2 p( x)dx = ∫ x 2 ( x − x 2 )dx = .
                             −∞                       0
                                                              2       4       5
По формуле (2.6.5) искомая дисперсия
                                                                  6       1
                         D{ξ} = M {ξ 2 } − M 2 {ξ} = − 1 = .
                                                                  5       5
   Пример 3. Найти моду и медиану случайной величины ξ, если плот-
ность вероятностей её
                                        ⎧3x 2 , п ри 0< x ≤ 1 ;
                                p( x) = ⎨
                                        ⎩0 , п ри x≤ 0 , x > 1 .
   Решение. Поскольку max p(x)=3, при х=1, то М{ξ}=1. Для нахождения
                                                            x x
                                                 1                     1
медианы Ме{ξ} решим уравнение F(x) = ∫ p( t )dt = , т . е . ∫ 3t 2 dt = . От-
                                     −∞
                                                 2          0
                                                                       2
                1
сюда Ме{ξ}= 3       .
                2



                                                                                  59

Страницы