Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

58
Доказательство. Используя свойство 4 математического ожидания и
(2.6.6), можем записать
DM M M M
MM D
{} {( )} { } { } {}
({} {}) {}
ξξ ξξ ξ
ξξ ξ
=−=−=
=−=
сссс
сс
22 2222
22 2 2
.
Для среднеквадратичного отклонения, после извлечения квадратного кор-
ня из дисперсии, это свойство имеет вид
σ{cξ}=⏐c⏐σ{ξ}.
Свойство 3. Если случайные величины ξ и η независимы, то дисперсия
их суммы равна сумме их дисперсий.
D{
ξ+η}= D{ξ}+ D{η}.
Доказательство.
DMM MM M
MM M M M
MM MM MM M
{}{( {})}{(( {})( {}))}
{( { }) ( { })( { }) ( { }) }
{( { }) } {( { }) } {( { })( { })}
ξη ξη ξη ξ ξ η η
ξξ ξξηηηη
ξξ ηη ξξηη
+= +− + = − +− =
=− +− − +− =
=− +− + − −
22
22
22
2
2 .
Получим
D{
ξ+η}= D{ξ}+ D{η}+2M{(ξ- M{ξ})(η- M{η})}. (2.6.7)
В силу независимости
ξ и η и свойства 5 математического ожидания
M{(
ξ−M{ξ})(η−M{η})}= M{ξ−M{ξ}}M{η−M{η}}=0. (2.6.8)
Поэтому
D{
ξ+η}= D{ξ}+ D{η}.
Извлекая отсюда квадратный корень, получаем
σ{ξ+η}= σξ ση
22
{} {}+ .
Следствие 1. Учитывая свойства 1 и 3, получаем
D{
ξ+c}= D{ξ}+ D{c}= D{ξ}.
Следствие 2. Учитывая свойства 2 и 3, получаем для дисперсии разно-
сти случайных величин
D{
ξ−η}= D{ξ}+ D{−η}= D{ξ}+
()−1
2
D{η}= D{ξ}+ D{η}.
Пример 1. Производится стрельба по движущейся цели до первого по-
падания. Вероятность p попадания при каждом выстреле одинакова и рав-
на 0,4. На стрельбу отпущено 4 снаряда. Найти: a) математическое ожида-
ние случайной величины
ξ - числа израсходованных снарядов, b) диспер-
сию и среднеквадратичное отклонение величины
ξ.
Решение. Случайная величина ξ может принять следующие значения:
x
12 3 4
1234====,,, x x x
. Вероятности принятия величиной ξ этих значе-
ний соответственно равны: P{
ξ=1}= p
1
=p=0,4; P{ξ=2}= p
2
=(1−p)p=0,24;
P{
ξ=3}= p
3
=()1
2
− p p=0,144; P{ξ=4}= p
4
=() ()11
34
−+−pp p=0,216.
a) В соответствии с формулой (2.5.3) 
    Доказательство. Используя свойство 4 математического ожидания и
(2.6.6), можем записать
                   D{ξ} = M{( сξ) 2 } − M 2{сξ} = с2 M{ξ 2 } − с2 M 2{ξ} =
                         = с2 (M{ξ 2 } − M 2 {ξ}) = с2 D{ξ} .
Для среднеквадратичного отклонения, после извлечения квадратного кор-
ня из дисперсии, это свойство имеет вид
                               σ{cξ}=⏐c⏐σ{ξ}.
    Свойство 3. Если случайные величины ξ и η независимы, то дисперсия
их суммы равна сумме их дисперсий.
                            D{ξ+η}= D{ξ}+ D{η}.
    Доказательство.
         D{ξ + η} = M{(ξ + η − M{ξ + η}) 2 } = M{((ξ − M{ξ}) + ( η − M{η})) 2 } =
         = M{(ξ − M{ξ}) 2 + 2(ξ − M{ξ})( η − M{η}) + ( η − M{η}) 2 } =
         = M{(ξ − M{ξ}) 2 } + M{( η − M{η}) 2 } + 2M {(ξ − M{ξ})( η − M{η})} .
Получим
           D{ξ+η}= D{ξ}+ D{η}+2M{(ξ- M{ξ})(η- M{η})}.            (2.6.7)
В силу независимости ξ и η и свойства 5 математического ожидания
         M{(ξ−M{ξ})(η−M{η})}= M{ξ−M{ξ}}M{η−M{η}}=0.              (2.6.8)
Поэтому
                         D{ξ+η}= D{ξ}+ D{η}.
Извлекая отсюда квадратный корень, получаем
                                 σ{ξ+η}= σ 2 {ξ} + σ 2 {η} .
    Следствие 1. Учитывая свойства 1 и 3, получаем
                                D{ξ+c}= D{ξ}+ D{c}= D{ξ}.
    Следствие 2. Учитывая свойства 2 и 3, получаем для дисперсии разно-
сти случайных величин
              D{ξ−η}= D{ξ}+ D{−η}= D{ξ}+ ( −1) 2 D{η}= D{ξ}+ D{η}.
    Пример 1. Производится стрельба по движущейся цели до первого по-
падания. Вероятность p попадания при каждом выстреле одинакова и рав-
на 0,4. На стрельбу отпущено 4 снаряда. Найти: a) математическое ожида-
ние случайной величины ξ - числа израсходованных снарядов, b) диспер-
сию и среднеквадратичное отклонение величины ξ.
    Решение. Случайная величина ξ может принять следующие значения:
x1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 . Вероятности принятия величиной ξ этих значе-
ний соответственно равны: P{ξ=1}= p1 =p=0,4; P{ξ=2}= p 2 =(1−p)p=0,24;
P{ξ=3}= p 3 = (1 − p) 2 p=0,144; P{ξ=4}= p 4 = (1 − p) 3 p + (1 − p) 4 =0,216.
   a) В соответствии с формулой (2.5.3)

58

Страницы