Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

5
7
Для дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x
i
с веро-
ятностями p
i
, дисперсия определяется равенством
D{
ξ}= ({})xM p
ii
i
n
−
=
∑
ξ
2
1
. (2.6.4)
Из свойств математического ожидания и определения дисперсии имеем
D{
ξ}=M{
{( { }) } { { } { }}ξξ ξ ξξ ξ−=−+=MMMM
22 2
2
=− +=−MMMMMM{ } {} {} {} { } {}ξξξξξξ
2222
2 .
Учитывая полученное соотношение и формулу (2.5.1), можем записать
формулу (2.6.2) в виде
D{
ξ}=
xdF x xdF x
22
ξξ
() ( ())−
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
.
Поскольку дисперсия не может быть отрицательной величиной, то из по-
следнего соотношения получим
xdFx xdFx
22
ξξ
() ( ())≥
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
.
Это неравенство является частным случаем неравенства Коши-
Буняковского.
Итак, для непрерывной случайной величины можем записать
D{
ξ}=MM xpxdxm
x
{} {} ()ξξ
22 2 2
−= −
−∞
∞
∫
, (2.6.5)
где
mM xdFx
x
22 2
==
−∞
∞
∫
{} ( ())ξ
ξ
.
Для дискретной случайной величины
ξ равенство (2.6.5) имеет вид
D{
ξ}=Mmxpm
xii
i
n
x
{}ξ
22 2
1
2
−= −
=
∑
, (2.6.6)
где
mM xp
xii
i
n
22
1
2
==
=
∑
{} ( )ξ .
Формулы (2.6.5) и (2.6.6) удобно применять для вычисления дисперсии.
Дисперсия обладает следующими основными свойствами.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины c равна нулю
D{
c}=0.
Доказательство. На основании формулы (2.6.5) имеем
D{
c}=MM{} {}сссс
22 22
0−=−=.
Свойство 2. Постоянный множитель c можно выносить за знак диспер-
сии, возведя его в квадрат.
D{
cξ}= с
2
D{ξ}. 
Для дискретной случайной величины ξ, принимающей значения xi с веро-
ятностями pi, дисперсия определяется равенством
                                                           n
                                            D{ξ}= ∑ ( x i − M{ξ}) 2 p i .                            (2.6.4)
                                                          i =1
   Из свойств математического ожидания и определения дисперсии имеем
              D{ξ}=M{ {(ξ − M {ξ}) 2 } = M{ξ 2 − 2M{ξ}ξ + M 2 {ξ}} =
                = M{ξ 2 } − 2M{ξ}M{ξ} + M 2 {ξ} = M{ξ 2 } − M 2 {ξ} .
Учитывая полученное соотношение и формулу (2.5.1), можем записать
формулу (2.6.2) в виде
                                             ∞                          ∞
                                   D{ξ}=      ∫      x 2 dFξ ( x) − ( ∫ xdF ξ ( x)) 2 .
                                             −∞                         −∞
Поскольку дисперсия не может быть отрицательной величиной, то из по-
следнего соотношения получим
                                        ∞                          ∞

                                        ∫   x dFξ ( x) ≥ ( ∫ xdFξ ( x)) 2 .
                                             2

                                       −∞                          −∞
Это неравенство является частным случаем неравенства                                                 Коши-
Буняковского.
   Итак, для непрерывной случайной величины можем записать
                                                                        ∞
                            D{ξ}= M{ξ } − M {ξ} =                       ∫x
                                                 2             2              2
                                                                                  p( x)dx − m 2x ,   (2.6.5)
                                                                        −∞
                            ∞
где m 2x = M 2{ξ} = ( ∫ xdF ξ (x)) 2 .
                           −∞
      Для дискретной случайной величины ξ равенство (2.6.5) имеет вид
                                                                        n
                                   D{ξ}= M{ξ 2 } − m 2x = ∑ x 2i p i −m 2x ,                         (2.6.6)
                                                                        i=1
                             n
где   m x2   = M {ξ} = ( ∑ x i p i ) 2 .
                  2

                            i =1
Формулы (2.6.5) и (2.6.6) удобно применять для вычисления дисперсии.
Дисперсия обладает следующими основными свойствами.
   Свойство 1. Дисперсия постоянной величины c равна нулю
                                   D{c}=0.
   Доказательство. На основании формулы (2.6.5) имеем
                       D{c}= M{с2 } − M 2{с} = с2 − с2 = 0 .
   Свойство 2. Постоянный множитель c можно выносить за знак диспер-
сии, возведя его в квадрат.
                              D{cξ}= с2 D{ξ}.

                                                                                                         57

Страницы