Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 57 стр.

      Свойство 6. Если a≤ξ≤b, то a≤М{ξ}≤b, где a и b - постоянные величи-
ны.
   Доказательство этого свойства вытекает из определения математиче-
ского ожидания .
   Свойство 7. Абсолютная величина математического ожидания случай-
ной величины всегда меньше или равна математическому ожиданию абсо-
лютного значения случайной величины
                                |М{ξ}|≤М{|ξ|}.
Это утверждение также очевидно.
   Свойство 8. Пусть pξη(x,y) - совместная плотность распределения веро-
ятностей случайных величин ξ и η. Тогда математическое ожидание слу-
чайных величин ξ и η соответственно равны:
                                      ∞ ∞
                            М{ξ}=     ∫ ∫ xp ξη (x, y)dxdy ;                         (2.5.6)
                                     −∞ −∞
                                      ∞ ∞
                            M{η}=     ∫ ∫ yp ξη (x, y)dxdy .                         (2.5.7)
                                     −∞ −∞
   Доказательство. Докажем первую из формул. Так как для случайной
величины ξ плотность распределения вероятностей
                                          ∞
                                 pξ(x)=   ∫ p ξη (x, y)dy ,
                                          −∞
                                          ∞              ∞ ∞
то                            М{ξ}= ∫ xp ξ (x)dx = ∫          ∫ xp ξη (x, y)dxdy .
                                       −∞                −∞ −∞
   Для дискретных случайных величин с совместным законом распреде-
ления pij=P{ξ=xi, η=yj} в формулах для М{ξ} и М{η} двойные интегралы
заменяются двойными суммами:
                                              ∞    ∞
                                 М{ξ}= ∑ ∑ x i p ij ;
                                              i =1 j=1
                                               ∞    ∞
                                 M{η}= ∑ ∑ y i p ij .
                                              i =1 j=1

    Кроме математического ожидания в качестве характеристик положения
случайной величины применяется иногда медиана и мода.
    Медианой Мe{ξ} (иначе срединным и вероятным значением) называет-
ся такое значение случайной величины ξ, при котором
                                                                 1
                         P{ξMe{ξ}}= .
                                                                 2
Для непрерывной случайной величины ξ это равенство принимает вид
                            Me            ∞
                                                        1
                             ∫ ξ
                              p  ( x)dx = ∫ p ξ (x)dx = 2 .
                            −∞            Me




                                                                                         55