Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

54
M{ξ}=c⋅1=c.
Свойство 2. Математическое ожидание суммы случайных величин рав-
но сумме их математических ожиданий
M{
ξ+η}=M{ξ}+M{η}.
Доказательство. Для случайных величин как зависимых, так и незави-
симых справедливо следующее:
MdP
dP dP M M
{}[()()]()
() () ()] () {} {}
ξω ξω ηω ω
ξω ω ηω ω ξ η
±= ± =
=± =±
∫
∫∫
Ω
ΩΩ
.
Также легко доказывается справедливость этого свойства для любого
конечного числа случайных величин.
Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых
случайных величин
ξ и η равно произведению их математических ожида-
ний
М{
ξ⋅η}=М{ξ}⋅М{η}.
Доказательство. Для непрерывных случайных величин из условия их
независимости следует, что
p
ξη
(x,y)= p
ξ
(x)⋅p
η
(y). (2.5.4)
По определению М{
ξ⋅η}= xyp x y dxdy
ξη
(, )
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
. (2.5.5)
Подставляя (2.5.4) в (2.5.5), получим:
xp x dx yp y dy
ξη
() () =
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
М{ξ}⋅М{η}.
В общем случае это доказательство имеет вид
F
ξη
(x,y)=F
ξ
(x)⋅F
η
(y),
поэтому М{
ξ⋅η}= xydF x y xdF x ydF y
ξη ξ η
(,) () ()=⋅=
−∞
∞
−∞
∞
∞
∞
−∞
∞
∫∫∫∫
М{ξ}⋅М{η}.
Свойство 4. Постоянный неслучайный множитель c можно выносить за
знак математического ожидания
М{
c⋅ξ}=c⋅М{ξ}.
Доказательство. Доказательство вытекает из обычного свойства инте-
грала Лебега.
М{
c⋅ξ}=
ccξω ω ξω ω() () () ()dP dP==
∫∫
ΩΩ
c⋅М{ξ}.
Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величи-
ны
ξ от её математического ожидания М{ξ} равно нулю
М{
ξ−М{ξ}}=0.
Это утверждение очевидно. 
                             M{ξ}=c⋅1=c.
    Свойство 2. Математическое ожидание суммы случайных величин рав-
но сумме их математических ожиданий
                          M{ξ+η}=M{ξ}+M{η}.
    Доказательство. Для случайных величин как зависимых, так и незави-
симых справедливо следующее:
                   M {ξ ± ω} = ∫ [ξ(ω) ± η(ω)]dP(ω) =
                               Ω

                   = ∫ ξ(ω)dP(ω) ± ∫ η(ω)]dP(ω) = M {ξ} ± M {η} .
                     Ω              Ω
   Также легко доказывается справедливость этого свойства для любого
конечного числа случайных величин.
   Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых
случайных величин ξ и η равно произведению их математических ожида-
ний
                           М{ξ⋅η}=М{ξ}⋅М{η}.

   Доказательство. Для непрерывных случайных величин из условия их
независимости следует, что
                           pξη(x,y)= pξ(x)⋅pη(y).           (2.5.4)
                                           ∞ ∞
По определению                 М{ξ⋅η}=     ∫ ∫ xyp ξη (x, y)dxdy .               (2.5.5)
                                           −∞ −∞
Подставляя (2.5.4) в (2.5.5), получим:
                               ∞                ∞

                               ∫ xp ξ (x)dx ∫ yp η (y)dy =   М{ξ}⋅М{η}.
                               −∞              −∞
В общем случае это доказательство имеет вид
                          Fξη(x,y)=Fξ(x)⋅Fη(y),
                         ∞ ∞               ∞            ∞
поэтому     М{ξ⋅η}= ∫ ∫ xydF ξη (x, y) =   ∫ xdF ξ (x) ⋅ ∫ ydF η (y) =   М{ξ}⋅М{η}.
                      −∞ ∞                 −∞           −∞
   Свойство 4. Постоянный неслучайный множитель c можно выносить за
знак математического ожидания
                              М{c⋅ξ}=c⋅М{ξ}.
   Доказательство. Доказательство вытекает из обычного свойства инте-
грала Лебега.
              М{c⋅ξ}= ∫ cξ(ω)dP(ω) = c∫ ξ(ω)dP(ω) = c⋅М{ξ}.
                           Ω                    Ω
   Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величи-
ны ξ от её математического ожидания М{ξ} равно нулю
                              М{ξ−М{ξ}}=0.
Это утверждение очевидно.

54

Страницы