Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

53
Mxpxdx{} ()ξ=
−∞
∞
∫
. (2.5.2)
2. Если
ξ - дискретная случайная величина, принимающая значения
х
1
,х
2
,...,х
n
с вероятностями p
1
,p
2
,...,p
n
, то F
ξ
(x) - ступенчатая функция со
скачками в точках х
i
, величина которых p
i
. Тогда
Mg gxdF x gx p
ii
i
n
{()} () () ( )ξ
ξ
==
−∞
∞
=
∫
∑
1
.
Cоответственно,
Mxp
ii
i
n
{}ξ=
=
∑
1
. (2.5.3)
3. В случае многомерной случайной величины необходимо использо-
вать меру Лебега-Стильтьеса в R
n
. Если ξ=(ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
n
) - непрерывный слу-
чайный вектор, то
M g g x x x p x x x dx dx dx
nnnn
{ ( , ,..., )} ... ( , ,..., ) ( , ,..., )ξξ ξ
12 12 12 1 2
= ⋅⋅⋅
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
.
Соответственно,
M x p x x x dx dx dx
ii n n
{ } ... ( , ,..., )ξ = ⋅⋅⋅
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
12 1 2
.
Все теоремы функционального анализа об интеграле Лебега можно
рассматривать как теоремы о математическом ожидании. Рассмотренные
ниже свойства полезны при решении практических задач теории вероятно-
стей.
Свойство 1. Математическое ожидание неслучайной (постоянной) ве-
личины
c равно c.
M{
c}=c.
Доказательство. Для постоянной величины функция распределения
имеет вид
Fx
c
()=
≤
⎧
⎨
⎩
0 для x
1 для x>
c
c
,
и поэтому
M{
c}= xdF x
c
()
−∞
∞
∫
=c.
Другими словами, постоянную величину
c можно рассматривать как слу-
чайную величину
ξ, принимающую с вероятностью единица значение c.
Поэтому 
                                                                 ∞
                                                     M {ξ} = ∫ xp(x)dx .                               (2.5.2)
                                                                 −∞



    2. Если ξ - дискретная случайная величина, принимающая значения
х1,х2,...,хn с вероятностями p1,p2,...,pn, то Fξ(x) - ступенчатая функция со
скачками в точках хi, величина которых pi. Тогда
                                                      ∞               n
                               M {g( ξ)} = ∫ g( x)dF ξ ( x) = ∑ g(x i ) p i .
                                                     −∞               i =1

Cоответственно,
                                                           n
                                             M {ξ} = ∑ x i p i .                                       (2.5.3)
                                                          i =1



   3. В случае многомерной случайной величины необходимо использо-
вать меру Лебега-Стильтьеса в Rn. Если ξ=(ξ1,ξ2,...,ξn) - непрерывный слу-
чайный вектор, то
                                        ∞        ∞
        M {g( ξ1, ξ 2 ,..., ξ n )} = ∫ ... ∫ g(x1, x 2 ,..., x n ) p(x1, x 2 ,..., x n )dx1dx 2 ⋅⋅⋅ dx n .
                                       −∞       −∞
Соответственно,
                                   ∞        ∞
                      M {ξ i } = ∫ ... ∫ x i p( x1, x 2 ,..., x n )dx1dx 2 ⋅⋅⋅ dx n .
                                   −∞       −∞
   Все теоремы функционального анализа об интеграле Лебега можно
рассматривать как теоремы о математическом ожидании. Рассмотренные
ниже свойства полезны при решении практических задач теории вероятно-
стей.
   Свойство 1. Математическое ожидание неслучайной (постоянной) ве-
личины c равно c.
                              M{c}=c.
   Доказательство. Для постоянной величины функция распределения
имеет вид
                                                      ⎧0 д ля x ≤ c
                                             Fc (x) = ⎨             ,
                                                      ⎩1 д ля x > c
и поэтому
                                                           ∞
                                                 M{c}= ∫ xdFc (x) =c.
                                                           −∞
Другими словами, постоянную величину c можно рассматривать как слу-
чайную величину ξ, принимающую с вероятностью единица значение c.
Поэтому


                                                                                                             53

Страницы