Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

52
gx x I x x dF x P B P A
dP I g
B
B
A
A
()dF() ()dF() () { } { }
() ()dP() (())dP().
ξξξ
ξω
ωωωξωω
===∈=∈=
== =
−∞
∞
−∞
∞
∫∫∫
∫∫ ∫
ΩΩ
Поэтому теорема верна и для функций вида g(x)=I
B
(x).
3. Следовательно, теорема верна и для простых функций вида
gx I x
iB
i
i
() ()
=
∑
c ,
что легко доказывается.
4. Пусть g(x)
≥0 - измеримая функция. Из функционального анализа из-
вестно, что тогда существует монотонно возрастающая последователь-
ность простых функций g
n
(x), сходящаяся к g(x): g
n
(x)↑g(x). Для неё име-
ем:
gxdFx gxdFx
gg
gdP gxdFxgxdFx
n
n
nn
() () () (),
( ( )) ( ( )),
(( )) ( ) () () () ().
ξξ
ξξ
ξω ξω
ξω ω
≤
↑
=≤
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
∫∫∫
Ω
Дважды используя теорему Леви, получим
gxdF x g xdF x g xdF x
gdP gdPgdP
n
n
n
n
n
n
n
n
() () lim () () lim () ()
lim ( ( )) ( ) lim ( ( )) ( ) ( ( )) ( ).
ξξξ
ξω ω ξω ω ξω ω
===
===
→+∞ →+∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
→+∞ →+∞
∫∫∫
∫∫∫
ΩΩΩ
5. Для функций g(x) произвольного знака, представляя g(x) в виде
g(x)=g
+
(x)−g
−
(x), можно записать теорему отдельно для g
+
(x) и g
−
(x) и, вы-
читая соответствующие интегралы, получить теорему для g(x).
Рассмотрим случаи различных представлений случайной величины.
1. Если
ξ - непрерывная случайная величина, то почти всюду существу-
ет p(x)=F
′(x) и математическое ожидание функции g(ξ) случайной величи-
ны
ξ на основании теоремы об интегрируемости по абсолютно непрерыв-
ной мере будет иметь вид
Mg gxdF x gxpxdx{()} () () ()()ξ
ξ
==
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
.
Соответственно, математическое ожидание самой случайной величины 
              ∞                       ∞

              ∫ g( x )dFξ ( x ) = ∫ I B ( x )dFξ ( x ) = ∫ dFξ ( x ) =P{ξ ∈ B} = P{ω ∈ A} =
             −∞                    −∞                              B

             = ∫ dP(ω ) = ∫ I A (ω )dP(ω ) = ∫ g( ξ(ω ))dP(ω ).
                  A          Ω                         Ω
Поэтому теорема верна и для функций вида g(x)=IB(x).

     3. Следовательно, теорема верна и для простых функций вида
                                g( x ) = ∑ ci I Bi ( x ) ,
                                                               i
что легко доказывается.

    4. Пусть g(x)≥0 - измеримая функция. Из функционального анализа из-
вестно, что тогда существует монотонно возрастающая последователь-
ность простых функций gn(x), сходящаяся к g(x): gn(x)↑g(x). Для неё име-
ем:
                            ∞                         ∞

                            ∫    g n (x)dF ξ (x) ≤ ∫ g(x)dF ξ (x),
                            −∞                        −∞

                            g n ( ξ(ω)) ↑ g( ξ(ω)),
                                                           ∞                        ∞

                            ∫ g n (ξ(ω))dP(ω) = ∫ g n (x)dF ξ (x) ≤ ∫ g(x)dF ξ (x).
                            Ω                              −∞                       −∞
Дважды используя теорему Леви, получим
         ∞                        ∞                                            ∞

         ∫    g(x)dF ξ (x) =      ∫       lim g n ( x)dF ξ (x) = lim
                                      n →+∞                            n →+∞
                                                                               ∫ g n (x)dF ξ (x) =
         −∞                      −∞                                            −∞

         = lim
             n →+∞
                      ∫ g n (ξ(ω))dP(ω) = ∫ nlim
                                             →+∞
                                                 g n ( ξ(ω))dP(ω) = ∫ g(ξ(ω))dP(ω).
                      Ω                          Ω                                      Ω


    5. Для функций g(x) произвольного знака, представляя g(x) в виде
g(x)=g+(x)−g−(x), можно записать теорему отдельно для g+(x) и g−(x) и, вы-
читая соответствующие интегралы, получить теорему для g(x).
    Рассмотрим случаи различных представлений случайной величины.
    1. Если ξ - непрерывная случайная величина, то почти всюду существу-
ет p(x)=F′(x) и математическое ожидание функции g(ξ) случайной величи-
ны ξ на основании теоремы об интегрируемости по абсолютно непрерыв-
ной мере будет иметь вид
                                                  ∞                      ∞
                                 M {g( ξ)} = ∫ g(x)dF ξ (x) = ∫ g( x) p(x)dx .
                                                 −∞                      −∞
Соответственно, математическое ожидание самой случайной величины


52

Страницы