Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 52 стр.

чайные величины. Плотность распределения вероятностей описывает
только непрерывную случайную величину. Но описание случайных вели-
чин функцией распределения или плотностью распределения вероятно-
стей, являющимися самым полным и самым подробным описанием слу-
чайной величины, достаточно сложно. Даже несложные преобразования,
такие как сложение, умножение, деление случайных величин, приводят к
достаточно сложным преобразованиям плотности распределения вероят-
ностей, связанным с вычислением интегралов. Кроме того, эмпирическое
определение функции распределения или плотности вероятностей случай-
ной величины требует проведения очень большого числа измерений её зна-
чений.

   В связи с этим возникает необходимость в другом описании случайных
величин, пусть не столь полном и характеризующим лишь некоторые их
свойства, но зато более простом и требующем меньшего числа измерений
при проведении экспериментальных исследований, тем более, что во мно-
гих случаях нет необходимости характеризовать случайную величину пол-
ностью. Чаще всего достаточно указать только отдельные числовые пара-
метры, достаточно хорошо характеризующие существенные черты распре-
деления случайной величины.
   Такие характеристики, дающие в сжатой форме наиболее существен-
ные особенности распределения, называются числовыми характеристика-
ми случайной величины.
   Существует большое количество различных числовых характеристик,
имеющих различное назначение и различные области применения. Рас-
смотрим характеристики положения случайной величины, которые указы-
вают число, около которого группируются все возможные значения слу-
чайной величины.
   Важнейшей из характеристик положения является так называемое ма-
тематическое ожидание.
Определение 1. Пусть заданы вероятностное пространство (Ω, F, P) и слу-
чайная величина ξ(ω). Математическим ожиданием случайной величины ξ
называется число
                           M {ξ} = ∫ ξ(ω)dP(ω) ,
                                 Ω
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Определение 2. Математическим ожиданием функции g(ξ) от случайной
величины ξ называется число
                         M {g( ξ)} = ∫ g( ξ(ω))dP(ω) .
                                 Ω




50