Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

48
x
1
=ϕ
1
(y
1
,y
2
,...,y
n
);
x
2
=ϕ
2
(y
1
,y
2
,...,y
n
);
. . . . . . . . . . . . . . .
x
n
=ϕ
n
(y
1
,y
2
,...,y
n
).
Плотность вероятностей
p
η
*
( y
1
,y
2
,...,y
n
) случайных величин η
1
,η
2
,..., η
n
на-
ходим по формуле (2.4.4)
p
η
*
( y
1
,y
2
,...,y
n
)= p
ξ
(ϕ
1
(y), ϕ
2
(y),..., ϕ
n
(y))
∂ϕ ϕ ϕ
∂
( ( ), ( ),..., ( ))
( , ,..., )
12
12
yy y
yy y
n
n
.
Интегрируя это выражение по дополнительным переменным, получим ис-
комую плотность вероятностей
p
η
(y
1
,y
2
,...,y
m
)= ... ( , ,..., ) ...
*
−∞
∞
−∞
∞
+
∫∫
pyy ydy dy
nm nη 12 1
.
Рассмотрим примеры преобразования вида 4.
Пример 1. Имеется двумерная случайная величина (ξ,η) с плотностью
вероятностей p
ξη
(x,y). Найти p
ζ
(z), если ζ=ξ+η.
Решение. Вводим дополнительную переменную
ζ=ξ+η,
ω=ξ.
Решаем систему уравнений
z=x+y,
u=x
относительно x и y:
x=u,
y=z
−u.
Находим p
ζω
(z,u):
∂
∂
(, )
(,
xy
zu)
==
1
1 -1
0
1
;
p
ζω
(z,u)= p
ξη
(u,z−u).
Интегрируя последнее выражение по u, получим:
p
ζ
(z)=
puzu)du
ξη
(, −
−∞
∞
∫
.
Интеграл, входящий в эту формулу, называется интегралом типа свертки.
Пример 2. Найти p
ζ
(z), если ζ=
ξ
η
.
Решение. Вводим дополнительную переменную
ζ=
ξ
η
, 
                               x1=ϕ1(y1,y2,...,yn);
                               x2=ϕ2(y1,y2,...,yn);
                                ...............
                               xn=ϕn(y1,y2,...,yn).
Плотность вероятностей p *η ( y1,y2,...,yn) случайных величин η1,η2,..., ηn на-
ходим по формуле (2.4.4)
                                                                  ∂(ϕ1 (y), ϕ 2 (y),..., ϕ n (y))
         p *η ( y1,y2,...,yn)= pξ(ϕ1(y), ϕ2(y),..., ϕn(y))                                        .
                                                                       ∂(y1, y 2 ,..., y n )
Интегрируя это выражение по дополнительным переменным, получим ис-
комую плотность вероятностей
                                          ∞    ∞
                   pη(y1,y2,...,ym)= ∫ ... ∫ p *η (y1, y 2 ,..., y n )dy m +1... dy n .
                                         −∞   −∞
   Рассмотрим примеры преобразования вида 4.
   Пример 1. Имеется двумерная случайная величина (ξ,η) с плотностью
вероятностей pξη(x,y). Найти pζ(z), если ζ=ξ+η.
   Решение. Вводим дополнительную переменную
                                      ζ=ξ+η,
                                      ω=ξ.
Решаем систему уравнений
                                       z=x+y,
                                       u=x
относительно x и y:
                                      x=u,
                                      y=z−u.
Находим pζω(z,u):
                                       ∂(x, y)    0 1
                                                =      = 1;
                                       ∂( z, u)   1 -1
                          pζω(z,u)= pξη(u,z−u).
Интегрируя последнее выражение по u, получим:
                                              ∞
                                    pζ(z)= ∫ p ξη (u, z − u)du .
                                              −∞
Интеграл, входящий в эту формулу, называется интегралом типа свертки.
                                              ξ
     Пример 2. Найти pζ(z), если ζ= .
                                              η
     Решение. Вводим дополнительную переменную
                                                     ξ
                                                   ζ= ,
                                                     η

48

Страницы