Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

4
6
2. Пусть теперь случайные величины ξ и η связаны немонотонной за-
висимостью
η= f(ξ). Тогда уравнение y= f(x), разрешенное относительно x,
имеет несколько корней x=
ϕ
i
(y) i=1,2,...
y=f(x)
y
ϕ
1
(y)
ϕ
2
(y)
ϕ
3
(y)
ϕ
4
(y) ... x
Как видно из рисунка, в этом случае
{
ω:η(ω)<y}={ω:ϕ
1
(y)≤ξ(ω)<ϕ
2
(y)} { :
ω
U
ϕ
3
(y)≤ξ(ω)<ϕ
4
(y)}...,
и для функции распределения можем записать:
F
η
(y)=P({ω:η(ω)<y})= pxdx pxdx
y
y
y
y
ξ
ϕ
ϕ
ξ
ϕ
ϕ
() () ...
()
()
()
()
1
2
3
4
∫∫
++
Дифференцируя по y, получаем p
η
(y)= −p
ξ
(ϕ
1
(y))ϕ
1
′(y)+p
ξ
(ϕ
2
(y))ϕ
2
′(y) −...
Учитывая знак производной от функции
ϕ
i
(y), можно записать:
p
η
(y)= py
i
i
ξ
ϕ(())
∑
⏐ϕ
i
′(y) ⏐.
Например, пусть p
η
(x)=
1
1
2
π()+ x
- плотность распределения Коши и η=ξ
2
.
Тогда уравнение y=
x
2
имеет два корня:
x
1
=ϕ
1
(y)=− y ;
x
2
=ϕ
2
(y)=+ y .
Поэтому p
η
(y)=
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
22
ππ
π
(( ) (()
()
+−
−
+
+
=
+
y
y
y
yyy
.
3. Пусть размерности многомерных случайных величин
ξ и η совпа-
дают и равны n=m. Тогда имеем n уравнений (2.4.1):
η
1
=f
1
(ξ
1
,ξ
2
,..., ξ
n
);
η
2
=f
2
(ξ
1
,ξ
2
,..., ξ
n
);
. . . . . . . . . . . . . . .
η
n
=f
n
(ξ
1
,ξ
2
,..., ξ
n
).
Пусть, кроме того, система уравнений
y
1
=f
1
(x
1
,x
2
,...,x
n
);
y
2
=f
2
(x
1
,x
2
,...,x
n
);
. . . . . . . . . . . . . .
y
n
=f
n
(x
1
,x
2
,...,x
n
)
может быть однозначно разрешена относительно x
1
,x
2
,...,x
n
, то есть 
   2. Пусть теперь случайные величины ξ и η связаны немонотонной за-
висимостью η= f(ξ). Тогда уравнение y= f(x), разрешенное относительно x,
имеет несколько корней x=ϕi(y) i=1,2,...
         y=f(x)


     y


         ϕ 1(y) ϕ 2 (y) ϕ 3 (y) ϕ 4 (y) ... x

   Как видно из рисунка, в этом случае
         {ω:η(ω)

Страницы