Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

45
§4. Функции от случайных величин
Рассмотрим следующую задачу: имеется n-мерная случайная величина
ξ=(ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
n
) с плотностью вероятностей p
ξ
(x
1
,x
2
,...,x
n
) и имеется m функ-
ций от этой случайной величины
η
1
=f
1
(ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
n
),
η
2
= f
2
(ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
n
), (2.4.1)
. . . . . . . . . . . . . .
η
m
=f
m
(ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
n
),
где f
1
,f
2
,...,f
m
- некоторые функции от n переменных. Необходимо найти
плотность распределения вероятностей m-мерной случайной величины
η=(η
1
,η
2
,..., η
m
).
Рассмотрим некоторые частные случаи этой задачи.
1. Пусть
ξ - одномерная случайная величина с плотностью вероятно-
стей p
ξ
(x) и y=f(x) - монотонно возрастающая функция. Необходимо найти
плотность вероятностей p
η
(y) случайной величины η, равной f(ξ).
Для монотонной функции x и y связаны однозначно, следовательно,
уравнение y=f(x) можно однозначно разрешить относительно x:
x=
fy
−
=
1
()
ϕ(y).
Далее легко видеть, что
{
ω:η(ω)<y}={ω:ξ(ω)<ϕ(y)}.
Тогда очевидно, что
F
η
(y)=F
ξ
(ϕ(y)).
Переходя к плотности вероятностей, получим
p
η
(y)=F′
η
(y)=F
ξ
′(ϕ(y))ϕ′(y)=p
ξ
(ϕ (y))ϕ′(y). (2.4.2)
Если функция f(
ξ) монотонно убывающая, то
{
ω:η(ω)<y}={ω:ξ(ω)>ϕ(y)},
и поэтому
F
η
(y)=1− F
ξ
(ϕ(y)).
Дифференцируя по y, получим:
p
η
(y)=−F
ξ
′(ϕ(y))ϕ′(y)= −p
ξ
(ϕ(y))ϕ′(y). (2.4.3)
Объединяя выражения (2.4.2) и (2.4.3) для монотонных функций, запишем
окончательно плотность вероятностей функции от случайной величины
p
η
(y)= p
ξ
(ϕ (y))⏐ϕ′(y)⏐,
где
ϕ(y) - функция, обратная к функции f(x). 
                 §4. Функции от случайных величин

    Рассмотрим следующую задачу: имеется n-мерная случайная величина
ξ=(ξ1,ξ2,...,ξn) с плотностью вероятностей pξ(x1,x2,...,xn) и имеется m функ-
ций от этой случайной величины
                                 η1=f1(ξ1,ξ2,...,ξn),
                                 η2= f2(ξ1,ξ2,...,ξn),                 (2.4.1)
                                  ..............
                                 ηm=fm(ξ1,ξ2,...,ξn),
где f1,f2,...,fm - некоторые функции от n переменных. Необходимо найти
плотность распределения вероятностей m-мерной случайной величины
η=(η1,η2,..., ηm).
    Рассмотрим некоторые частные случаи этой задачи.
    1. Пусть ξ - одномерная случайная величина с плотностью вероятно-
стей pξ(x) и y=f(x) - монотонно возрастающая функция. Необходимо найти
плотность вероятностей pη(y) случайной величины η, равной f(ξ).
    Для монотонной функции x и y связаны однозначно, следовательно,
уравнение y=f(x) можно однозначно разрешить относительно x:
                                  x= f −1 ( y) = ϕ(y).
Далее легко видеть, что
                            {ω:η(ω)ϕ(y)},
и поэтому
                                 Fη(y)=1− Fξ(ϕ(y)).
 Дифференцируя по y, получим:
                         pη(y)=−Fξ′(ϕ(y))ϕ′(y)= −pξ(ϕ(y))ϕ′(y).        (2.4.3)
Объединяя выражения (2.4.2) и (2.4.3) для монотонных функций, запишем
окончательно плотность вероятностей функции от случайной величины
                              pη(y)= pξ(ϕ (y))⏐ϕ′(y)⏐,
где ϕ(y) - функция, обратная к функции f(x).



                                                                           45

Страницы