Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

43
Функция распределения случайной величины η F
η
(y) - представляет
собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограни-
ченную сверху прямой с ординатой y.
Y
y
X
Рассмотрим основные свойства функции распределения двух случай-
ных величин с точки зрения представленной геометрической интерпрета-
ции.
1. F
ξη
(x,y) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, то есть
при x
2
> x
1
F
ξη
(x
2
,y) ≥ F
ξη
(x
1
,y);
при y
2
> y
1
F
ξη
(x,y
2
) ≥ F
ξη
(x,y
1
).
Действительно, увеличивая x, то есть смещая правую границу квадранта
вправо или увеличивая y, то есть смещая верхнюю границу вверх, мы не
можем уменьшить вероятность попадания случайной точки (
ξ ,η) в этот
квадрант.
2. На
−∞ F
ξη
(x,y)=0, то есть F
ξη
(x,
−
∞ )=F
ξη
(
−
∞ ,y)=F
ξη
( −∞ , −∞ )=0.
Неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта или вниз
его верхнюю границу или делая это одновременно с обеими границами, мы
устремляем к нулю вероятность попадания случайной точки в квадрант.
Если оба аргумента устремить к
+
∞ , то F
ξη
(
+
∞ ,
+
∞ )=1. При этом квад-
рант с вершиной (x,y) в пределе обращается во всю плоскость, вероятность
попадания в которую есть достоверное событие.
3. При одном из аргументов, стремящемся к
+
∞ , функция распределе-
ния системы двух случайных величин превращается в функцию распреде-
ления случайной величины, соответствующей другому аргументу, то есть
F
ξη
(x, +∞ )=F
ξ
(x), F
ξη
(
+
∞ ,y)=F
η
(y).
Смещая ту или иную из границ квадранта на
+
∞ , мы тем самым в пре-
деле квадрант превращаем в полуплоскость, вероятность попадания в ко-
торую есть функция распределения одной из величин, входящих в систему.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Случайный вектор (ξ,η) имеет плотность вероятностей
p(x,y)=
A
xy
π
22 2
16 25()( )++
, x,y∈R.
Найти: а) величину A; б) функцию распределения F
ξη
(x,y); в) функции
распределения F
ξ
(x) и F
η
(y); г) плотности вероятностей p
ξ
(x) и p
η
(y).
Решение. а) Величину A находим из условия нормировки 
   Функция распределения случайной величины η Fη(y) - представляет
собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограни-
ченную сверху прямой с ординатой y.
      Y

          y



                  X

    Рассмотрим основные свойства функции распределения двух случай-
ных величин с точки зрения представленной геометрической интерпрета-
ции.
    1. Fξη(x,y) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, то есть
                         при x2 > x1 Fξη(x2,y) ≥ Fξη(x1,y);
                         при y2 > y1 Fξη(x,y2) ≥ Fξη(x,y1).
Действительно, увеличивая x, то есть смещая правую границу квадранта
вправо или увеличивая y, то есть смещая верхнюю границу вверх, мы не
можем уменьшить вероятность попадания случайной точки (ξ ,η) в этот
квадрант.
    2. На −∞ Fξη(x,y)=0, то есть Fξη(x, −∞ )=Fξη( −∞ ,y)=Fξη( −∞ , −∞ )=0.
    Неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта или вниз
его верхнюю границу или делая это одновременно с обеими границами, мы
устремляем к нулю вероятность попадания случайной точки в квадрант.
    Если оба аргумента устремить к +∞ , то Fξη( +∞ , +∞ )=1. При этом квад-
рант с вершиной (x,y) в пределе обращается во всю плоскость, вероятность
попадания в которую есть достоверное событие.
    3. При одном из аргументов, стремящемся к +∞ , функция распределе-
ния системы двух случайных величин превращается в функцию распреде-
ления случайной величины, соответствующей другому аргументу, то есть
                        Fξη(x, +∞ )=Fξ(x), Fξη( +∞ ,y)=Fη(y).
    Смещая ту или иную из границ квадранта на +∞ , мы тем самым в пре-
деле квадрант превращаем в полуплоскость, вероятность попадания в ко-
торую есть функция распределения одной из величин, входящих в систему.
    Рассмотрим примеры.
    Пример 1. Случайный вектор (ξ,η) имеет плотность вероятностей
                                         A
                      p(x,y)=                            , x,y∈R.
                                π (16 + x 2 )(25 + y 2 )
                                 2

   Найти: а) величину A; б) функцию распределения Fξη(x,y); в) функции
распределения Fξ(x) и Fη(y); г) плотности вероятностей pξ(x) и pη(y).
   Решение. а) Величину A находим из условия нормировки

                                                                         43

Страницы