Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

41
B={ω:y≤η(ω)<y+ Δy }={ω:η(ω)<y+
Δ
y }\{ω:η(ω)<y}.
Тогда для случайных событий A и B имеем:
P(A/B)=
PA B
PB
()
()
I
. (2.3.2)
Выражая вероятности этих событий через функцию распределения, по-
лучаем:
P(B)=P{y
≤η<y+
Δ
y }=F
η
( y+
Δ
y )− F
η
( y);
P( A В
I
)=P{ξ<x,y≤η< y+
Δ
y }=P({ξ<x,η< y+
Δ
y }\{ξ<x, η< y})=
=F
ξη
(x,y+
Δ
y
)−F
ξη
(x,y).
Поэтому выражение (2.3.2) принимает вид:
P{
ξ<x/y≤η<y+
Δ
y}=
Fxy yFxy
Fy y Fy
ξη ξη
ηη
(, ) (, )
()()
+
−
+−
Δ
Δ
.
Переходя к пределу при
Δy
→0, получим
F(x/y)=
lim { / }
(, )
()
'
Δ
Δ
y
Pxy yy
Fxy
y
Fy
→
<≤<+=
0
ξη
∂
∂
ξη
η
,
или
F(x/y)=
1
py
Fxy
y
η
ξη
∂
∂()
(,)
. (2.3.3)
Дифференцируя по x, получим выражение для условной плотности ве-
роятностей:
p(x/y)=
pxy
py
ξη
η
(,)
()
, (2.3.4)
или, используя формулу (2.3.1), получим.
p(x/y)=
pxy
puydu
ξη
ξη
(,)
(,)
−∞
∞
∫
. (2.3.5)
Аналогично получаем
p(y/x)=
pxy
pxvdv
ξη
ξη
(,)
(, )
−∞
∞
∫
. (2.3.6)
Формулы (2.3.3), (2.3.4), (2.3.5) и (2.3.6) определяют условные законы
распределения случайной величины при условии, что другая случайная ве-
личина принимает фиксированное значение.
Формулу (2.3.4) перепишем в виде.
p
ξη
(x,y)=p(x/y)p
η
(y)=p(y/x)p
ξ
(x), 
    B={ω:y≤η(ω)

Страницы