Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 42 стр.

где почти всюду выполняется равенство
                                                ∂ n F (x1, x 2 ,..., x n )
                               p(x1,x2,...,xn)=                            ,
                                                   ∂x1∂x 2 ... ∂x n
где p(x1,x2,...,xn) называется плотностью распределения n-мерной случай-
ной величины.
   Функция p(x1,x2,...,xn) обладает следующими свойствами:
   Свойство 1. p(x1,x2,...,xn)≥0;
                   ∞    ∞
     Свойство 2.   ∫ ... ∫ p(x1, x 2 ,..., x n )dx1dx 2 ... dx n   = 1 − условие нормировки;
                   −∞   −∞
     Свойство 3. Если A∈B, то

                        P{ξ∈Α}= ∫ ... ∫ p(x1, x 2 ,... x n )dx1dx 2 ... dx n ;
                                         А

   Свойство 4. Условие согласованности для плотности вероятностей
имеет вид.
                                                    ∞
                             p(x1,x2,...,xn-1)= ∫ p(x1, x 2 ,..., x n −1, x n )dx n .   (2.3.1)
                                                   −∞
   То есть в этом случае, чтобы получить плотность распределения под-
системы случайных величин меньшей размерности, нужно n-мерную плот-
ность вероятностей проинтегрировать по неинтересующим переменным в
пределах ( −∞, +∞ ).
   Таким образом, зная многомерный закон распределения (функцию рас-
пределения или плотность вероятностей), можно найти одномерные зако-
ны распределения всех случайных величин, входящих в систему.
   Можно ли решить обратную задачу: по одномерным законам распреде-
ления случайных величин ξ1,ξ2,...,ξn, найти многомерный закон распреде-
ления. Это возможно, но не всегда. В общем случае кроме одномерных за-
конов распределения случайных величин необходимо знать условные за-
коны распределения. Введем понятия условной функции распределения и
условной плотности распределения, ограничиваясь изложением существа
дела в ущерб, может быть, строгой формализации.
     Рассмотрим двумерную случайную величину (ξ,η) с функцией рас-
пределения Fξη(x,y) и плотностью вероятностей pξη(x,y). Пусть стало из-
вестно, что случайная величина η приняла значение η=y. Найдем условную
функцию распределения F(x/y) и условную плотность вероятностей p(x/y).
   Обозначим через A событие {ω:ξ(ω)