Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

38
что случайная величина ξ примет то или иное значение. Например, собы-
тие A={
ω: ξ(ω)=1}, состоящее в том, что ξ примет значение 1, наступит,
если реализуется одно из элементарных событий
ω
2
или ω
3
, то есть
A={РГ,ГР}. Тогда P{
ω: ξ(ω)=1}=P(A)=2/4=1/2. Поэтому ряд распределения
будет иметь вид:
ξ
0 1 2
p 1/4 1/2 1/4
Пример 2. На отрезке [a,b] случайным образом появляется точка. Найти
функцию распределения случайной величины
ξ − координаты появившей-
ся точки.
Решение. Событие ξ<x означает, что появившаяся точка находится на
интервале (
−∞ ,x). При x<a событие {ξ<х} невозможно. Тогда P{ξ<х}=0.
a x b
ξ
<x x
При x
∈[a,b] вероятность появления точки на [a,x]
есть P{
ξ<a}=
x −
−
a
ba
, так как x−a − длина отрезка [a,x], а b−a − длина всего
отрезка [
a,b]. При x>b событие {ξ<x} достоверно, то есть P{ξ<x}=1. Таким
образом, искомая функция распределения имеет вид:
F(x)=
0 , x ≤
≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
a
a
ba
ab
b
;
x-
-
, < x ;
1, x > .
Пример 3. Плотность вероятностей случайной величины ξ есть
p(x)=
cxe
kx2 −
, k>0, x≥0.
Найти: а) коэффициент
с; б) функцию распределения F(x); в) вероят-
ность попадания случайной величины
ξ в интервал (0,1/k).
Решение. a) Из условия нормировки (2.2.7) находим c:
cxe dx
kx2
0
∞
−
∫
=1, c=
1
2
2
0
3
xe dx
k
kx−
∞
∫
= .
Следовательно, p(x)=
k
xe
kx
3
2
2
−
.
б) По формуле (2.2.4)
F(x)=
pxdx
k
te dt
kx kx
e
xx
kt kx
() ==−
++
−∞
−−
∫∫
3
0
2
22
2
1
22
2
.
в) В соответствии с соотношением (2.2.3) для непрерывных случайных
величин 
что случайная величина ξ примет то или иное значение. Например, собы-
тие A={ω: ξ(ω)=1}, состоящее в том, что ξ примет значение 1, наступит,
если реализуется одно из элементарных событий ω2 или ω3, то есть
A={РГ,ГР}. Тогда P{ω: ξ(ω)=1}=P(A)=2/4=1/2. Поэтому ряд распределения
будет иметь вид:
                     ξ        0        1       2
                     p       1/4      1/2     1/4

    Пример 2. На отрезке [a,b] случайным образом появляется точка. Найти
функцию распределения случайной величины ξ − координаты появившей-
ся точки.
    Решение. Событие ξb событие {ξ b.
                                                ⎩
   Пример 3. Плотность вероятностей случайной величины ξ есть
                           p(x)= cx 2e − kx , k>0, x≥0.
   Найти: а) коэффициент с; б) функцию распределения F(x); в) вероят-
ность попадания случайной величины ξ в интервал (0,1/k).
   Решение. a) Из условия нормировки (2.2.7) находим c:
                                ∞
                                     2 − kx                     1             k3
                                 ∫ cx e       dx =1,   c= ∞                 =
                                                                              2
                                                                                 .
                                                              2 − kx
                                 0
                                                         ∫x e          dx
                                                          0

                                     k 3 2 − kx
     Следовательно, p(x)=               xe .
                                      2
     б) По формуле (2.2.4)
                            x             x
                                            k 3 2 − kt      k 2 x 2 + 2kx + 2 − kx
                    F(x)= ∫ p(x)dx = ∫         t e dt = 1 −                  e .
                            −∞            0
                                             2                       2
   в) В соответствии с соотношением (2.2.3) для непрерывных случайных
величин

38

Страницы