Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

3
6
P{a<ξ<b}=F(b)−F(a+0);
P{
a<ξ≤b}=F(b+0)−F(a+0).
В частности, вероятность того, что случайная величина примет значе-
ние, равное x, будет равна
P{
ξ=x}=P{x≤ξ≤x}=F(x+0) −F(x),
то есть равна скачку функции распределения в точке x. Отметим, что если
в точке x функция F(x) непрерывна, то P{
ξ=x}=0. Но это не означает, что
появление этого значения для случайной величины
ξ является событием
невозможным.
Как известно из функционального анализа, любая монотонно возрас-
тающая функция есть сумма трех функций: абсолютно непрерывной функ-
ции F
c
(x), ступенчатой функции F
d
(x) и сингулярной функции F
s
(x), то
есть
F(x)= F
c
(x)+ F
d
(x)+ F
s
(x).
В реальных задачах сингулярная компонента F
s
(x) не встречается, по-
этому в дальнейшем будем считать F
s
(x)=0.
Рассмотрим частные случаи.
1. Пусть имеется только ступенчатая компонента, то есть F(x)
− сту-
пенчатая функция, имеющая скачки в точках x
1
,x
2
,...,x
n
, причем величина
скачков равна p
1
,p
2
,...,p
n
. Соответствующая такому представлению случай-
ная величина называется
дискретной случайной величиной. С вероятно-
стью единица она может принимать значения из набора {x
1
,x
2
,...,x
n
}, при-
чем значение x
i
принимается с вероятностью p
i
.
Обычно такие величины задают
рядом распределения − таблицей вида:
ξ
x
1
x
2
... x
n
p p
1
p
2
... p
n
в которой перечислены значения случайной величины и соответствующие
им ненулевые вероятности.
Следует отметить, что в силу свойства
lim ( )
x
Fx
→∞
=
1 для вероятностей
p
1
,p
2
,...,p
n
выполняется условие p
i
i
n
=
=
∑
1
1
.
2. Пусть F(x) содержит только абсолютно непрерывную компоненту. В
этом случае F(x) может быть представлена в виде
F(x)=
ptdt
x
()
−∞
∫
, (2.2.4)
где p(t) - функция, интегрируемая по Лебегу на числовой прямой, что вле-
чёт почти всюду существование производной 
                               P{a<ξ

Страницы