Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

34
Укажем на аналогию с функциональным анализом:
Функциональный анализ Теория вероятностей
Измеримая функция, отображающая
(
Ω,F) в (R,B)
Случайная величина
ξ(ω)
Если не будет возникать недоразумений, аргумент
ω у случайной вели-
чины
ξ(ω) будем в дальнейшем опускать, а случайные величины будем
обозначать греческими буквами
ζ, η, ξ и т. д. без аргумента ω.
§2. Описание случайных величин.
Как известно из курса функционального анализа, необходимое и доста-
точное условие измеримости функции
ξ(ω) имеет вид: для ∀x множества
{
ω: ξ(ω) < x}∈F;
{
ω: ξ(ω) ≤ x}∈ F;
{
ω: ξ(ω) > x}∈ F; (2.2.1)
{
ω: ξ(ω) ≥ x}∈ F.
Вероятностная мера P любому событию A
∈ F ставит в соответствие
число P(A), определяющее вероятность этого события. Поэтому для любо-
го
x определено число P({ω: ξ(ω) < x}). Это число зависит от x и является
основной характеристикой случайной величины.
Функцией распределения F
ξ
(x) случайной величины ξ(ω) называется
функция
F
ξ
(x)=P({ω: ξ(ω) < x})=P{ξ< x},
то есть F
ξ
(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значе-
ние, меньшее некоторого x
.
Разумеется, можно было бы брать другие множества из (2.2.1), но в
теории вероятностей принято брать именно множества вида
{
ω: ξ(ω) < x}.
Функция распределения F
ξ
(x) является самой полной характеристикой
случайной величины; описать, задать случайную величину
ξ − означает
задать ее функцию распределения F
ξ
(x). Все, что можно сказать о случай-
ной величине, заключено в ее функции распределения. В дальнейшем ин-
декс
ξ у F
ξ
(x) будем опускать там, где это не вызовет недоразумений.
Рассмотрим основные свойства функции распределения.
Свойство 1. F(x) − неубывающая функция, то есть, если x
1
< x
2
, то
F(x
1
)≤F(x
2
). 
     Укажем на аналогию с функциональным анализом:

          Функциональный анализ              Теория вероятностей
     Измеримая функция, отображающая       Случайная величина ξ(ω)
               (Ω,F) в (R,B)

   Если не будет возникать недоразумений, аргумент ω у случайной вели-
чины ξ(ω) будем в дальнейшем опускать, а случайные величины будем
обозначать греческими буквами ζ, η, ξ и т. д. без аргумента ω.

                   §2. Описание случайных величин.

    Как известно из курса функционального анализа, необходимое и доста-
точное условие измеримости функции ξ(ω) имеет вид: для ∀x множества
    {ω: ξ(ω) < x}∈F;
    {ω: ξ(ω) ≤ x}∈ F;
    {ω: ξ(ω) > x}∈ F;                                             (2.2.1)
    {ω: ξ(ω) ≥ x}∈ F.
    Вероятностная мера P любому событию A∈ F ставит в соответствие
число P(A), определяющее вероятность этого события. Поэтому для любо-
го x определено число P({ω: ξ(ω) < x}). Это число зависит от x и является
основной характеристикой случайной величины.
    Функцией распределения Fξ(x) случайной величины ξ(ω) называется
функция
                        Fξ(x)=P({ω: ξ(ω) < x})=P{ξ< x},
то есть Fξ(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значе-
ние, меньшее некоторого x.
    Разумеется, можно было бы брать другие множества из (2.2.1), но в
теории вероятностей принято брать именно множества вида
                                 {ω: ξ(ω) < x}.
    Функция распределения Fξ(x) является самой полной характеристикой
случайной величины; описать, задать случайную величину ξ − означает
задать ее функцию распределения Fξ(x). Все, что можно сказать о случай-
ной величине, заключено в ее функции распределения. В дальнейшем ин-
декс ξ у Fξ(x) будем опускать там, где это не вызовет недоразумений.
    Рассмотрим основные свойства функции распределения.

   Свойство 1. F(x) − неубывающая функция, то есть, если x1 < x2, то
F(x1)≤F(x2).

34

Страницы